Encontre a expressão da derivada seguinte
dd t integral1^t^3 raiz[3]a^2+a+1 d a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada em relação a dd t integral1^t^3 raiz[3]a^2 + a + 1 , da da integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de integrais definidas que têm limites que dependem da variável . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Se temos uma função F'(t) = f(g(t)) cdot g'(t) , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que para derivar uma integral onde o limite superior é uma função de , a gente avalia a função integranda nesse limite e multiplica pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função integranda é ddt integral1^t^3 raiz[3]a^2 + a + 1 , da = raiz[3](t^3)^2 + t^3 + 1 cdot ddt(t^3) e o limite superior é . Então, seguindo o teorema:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos g(t) = t^3 Rightarrow g'(t) = 3t^2 e sua derivada:
raiz[3](t^3)^2 + t^3 + 1 = raiz[3]t^6 + t^3 + 1
Agora, substituímos na função integranda:

Passo 5

Juntando tudo, temos:
ddt integral1^t^3 raiz[3]a^2 + a + 1 , da = raiz[3]t^6 + t^3 + 1 cdot 3t^2
Podemos reescrever isso de uma forma mais arrumada:
3t^2 cdot raiz[3]t^6 + t^3 + 1

Resposta

A derivada é:
3t^2 cdot raiz[3]t^6 + t^3 + 1

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