Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(viii) , o eixo e a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , pelo eixo (que é ) e pela reta vertical . Vamos usar cálculo integral para achar essa área, já que estamos lidando com funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. A curva cruza o eixo quando . Então, vamos resolver :
Então, os limites de vão de até 3.
Passo 3
Agora, para calcular a área entre essas curvas, vamos integrar a função em relação a no intervalo que encontramos. A fórmula geral para a área é:
Aqui, e (pois o eixo é a linha de referência inferior.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da integral, temos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, separamos a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é simples, e a segunda requer um método de integração.
Passo 6
Calculando a primeira integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral . A gente usa integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então, aplicando os limites:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, somando as duas integrais:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.