Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(viii) y = 1 + ln(x), o eixo x e a reta x = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , pelo eixo (que é ) e pela reta vertical . Vamos usar cálculo integral para achar essa área, já que estamos lidando com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. A curva cruza o eixo quando . Então, vamos resolver :
Então, os limites de vão de até 3.

Passo 3

Agora, para calcular a área entre essas curvas, vamos integrar a função em relação a no intervalo que encontramos. A fórmula geral para a área é:
Aqui, e (pois o eixo é a linha de referência inferior.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da integral, temos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, separamos a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é simples, e a segunda requer um método de integração.

Passo 6

Calculando a primeira integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral . A gente usa integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então, aplicando os limites:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Agora, somando as duas integrais:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iii) y = x^3 + 1 e o eixo dos x
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd t integral1^t^3 raiz[3]a^2+a+1 d a
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
a=integral0^2(6 t^2-4 t+1) d t
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
j=integral0^1 u(1+u^2)^3 d u