Encontre a expressão da derivada seguinte
dd a integral-a^a sen(1+cos (e^x)) d x

Passo 1

Então, temos que encontrar a expressão da derivada de uma integral que vai de até da função . Vamos precisar usar o conceito de derivada de integrais com limites variáveis, que faz parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma regra importante do cálculo chamada regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz que se temos uma integral da forma dda integralu(a)^v(a) f(x) , dx = f(v(a)) cdot v'(a) - f(u(a)) cdot u'(a) + integralu(a)^v(a) partial fpartial a , dx , então a derivada em relação a é:
No nosso caso, a função dentro da integral não depende de , então o último termo da regra de Leibniz desaparece.

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz ao nosso problema, identificamos que:
  • dda integral-a^a sen(1+cos (e^x)) dx = f(a) cdot v'(a) - f(-a) cdot u'(a) , então
  • , então
Então, a derivada será:

Passo 4

Substituindo os valores que encontramos:
E lembrando que f(a) = sen(1+cos (e^a)) e f(-a) = sen(1+cos (e^-a)) , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada procurada é:

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Encontre a expressão da derivada seguinte
dd w integral0^w raizsen(z) d z
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
R=integral0^1 1+e raizwraizw d w
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd t integral1^t^3 raiz[3]a^2+a+1 d a
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iii) y = x^3 + 1 e o eixo dos x