Calcule o valor de cada inegral seguinte:
j=integral0^1 u(1+u^2)^3 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que o denominador sugere uma substituição relacionada a .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 4

Calculando a derivada:
dtdu = 2u Rightarrow du = dt2u
Isso significa que podemos substituir na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
j = integral ut^3 cdot dt2u = 12 integral t^-3 , dt
Note que os se cancelam, simplificando a expressão.

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 integral t^-3 , dt = 12 cdot ( t^-2-2 ) + C = -14 t^-2 + C :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, precisamos substituir os limites de integração para t = 1 + 0^2 = 1 . Quando t = 1 + 1^2 = 2 :
E quando :

Passo 8

Substituindo os limites na expressão integrada:
j = -14 ( 12^2 - 11^2 ) = -14 ( 14 - 1 ) = -14 ( -34 ) = 316

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o valor de cada inegral seguinte:
a=integral0^2(6 t^2-4 t+1) d t
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(viii) y = 1 + ln(x), o eixo x e a reta x = 3
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
o=integral0^2 z^2raizz^3+1 d z
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
r=integral0^1 / 4 1cos ^2(pi u) d u