Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iv)
, o eixo
o eixo
e a reta
(iv)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
, pelo eixo
, pelo eixo
e pela reta
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: Esta é uma parábola que abre para a direita. - Eixo
: A linha horizontal onde . - Eixo
: A linha vertical onde . - Reta
: Uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
Passo 3
Vamos desenhar um gráfico aproximado para visualizar a região:
- A curva
começa no ponto onde (pois quando ) e se estende para a direita. - A reta
corta essa curva em um ponto específico que vamos encontrar.
Passo 4
Encontrar o ponto de interseção entre
e
:
Substituindo
na equação da curva:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 5
Determinar os limites de integração. A região está delimitada entre
e
. Para calcular a área, integraremos a função
em relação a
nesse intervalo.
Passo 6
Configurar a integral para a área:
Para resolver essa integral, faremos uma substituição para simplificar.
Passo 7
Fazer a substituição
. Então,
ou
.
Alterando os limites de integração:
- Quando
: - Quando
:
Passo 8
Substituir na integral:
Passo 9
Calcular a integral:
Passo 10
Substituir os limites na expressão:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
e
e
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Seja a função de Fresnel
definida como segue
- Em quais intervalos
é crescente ?
Calcule as integrais abaixo