Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iv) y = raiz(2 x + 1), o eixo x o eixo y e a reta x = 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas , pelo eixo , pelo eixo e pela reta . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. : Esta é uma parábola que abre para a direita.
  2. Eixo : A linha horizontal onde .
  3. Eixo : A linha vertical onde .
  4. Reta : Uma linha vertical que corta o eixo no ponto .

Passo 3

Vamos desenhar um gráfico aproximado para visualizar a região:
  • A curva começa no ponto onde (pois quando ) e se estende para a direita.
  • A reta corta essa curva em um ponto específico que vamos encontrar.

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção entre e :
Substituindo na equação da curva:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 5

Determinar os limites de integração. A região está delimitada entre e . Para calcular a área, integraremos a função em relação a nesse intervalo.

Passo 6

Configurar a integral para a área:
Á
Para resolver essa integral, faremos uma substituição para simplificar.

Passo 7

Fazer a substituição . Então, ou .
Alterando os limites de integração:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 8

Substituir na integral:
Á

Passo 9

Calcular a integral:

Passo 10

Substituir os limites na expressão:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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