Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
(0,0) e (2, -1) e (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo usando integração, sabendo que os vértices são (0,0), (2, -1) e (2,1). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria analítica. Vamos precisar entender como montar integrais para encontrar áreas de figuras no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo. Os pontos (0,0), (2, -1) e (2,1) formam um triângulo no plano cartesiano. Observando os vértices, percebemos que dois deles têm a mesma coordenada x (2), o que significa que esses dois pontos estão alinhados verticalmente.

Passo 3

Para calcular a área usando integração, vamos integrar em relação a x. Isso significa que vamos dividir o triângulo em fatias verticais e somar a área de cada fatia. Precisamos identificar as funções que descrevem as bordas do triângulo.

Passo 4

Vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Primeiro, entre (0,0) e (2, -1):
A inclinação m é:
Então, a equação da reta é:
Agora, entre (0,0) e (2,1):
A inclinação m é:
Então, a equação da reta é:

Passo 5

Como os dois lados do triângulo são simétricos em relação ao eixo x, podemos calcular a área de uma metade e depois duplicar. Vamos integrar a distância entre as duas retas de e no intervalo de x = 0 a x = 2.

Passo 6

A distância entre as duas retas para um valor dado de x é:

Passo 7

A área do triângulo é então a integral dessa altura em relação a x de 0 a 2:
Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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