Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
e
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área de um triângulo usando integração, sabendo que os vértices são
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e geometria analítica. Vamos precisar entender como montar integrais para encontrar áreas de figuras no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo. Os pontos
,
e
formam um triângulo no plano cartesiano. Observando os vértices, percebemos que dois deles têm a mesma coordenada
(2), o que significa que esses dois pontos estão alinhados verticalmente.
Passo 3
Para calcular a área usando integração, vamos integrar em relação a
. Isso significa que vamos dividir o triângulo em fatias verticais e somar a área de cada fatia. Precisamos identificar as funções que descrevem as bordas do triângulo.
Passo 4
Vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Primeiro, entre
e
:
A inclinação
é:
Então, a equação da reta é:
Agora, entre
e
:
A inclinação
é:
Então, a equação da reta é:
Passo 5
Como os dois lados do triângulo são simétricos em relação ao eixo
, podemos calcular a área de uma metade e depois duplicar. Vamos integrar a distância entre as duas retas de
e
no intervalo de
a
.
Passo 6
A distância entre as duas retas para um valor dado de
é:
Passo 7
A área do triângulo é então a integral dessa altura em relação a
de 0 a 2:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Resposta
A área do triângulo é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Encontre a expressão da derivada seguinte
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iv) , o eixo
o eixo
e a reta
(iv)
Seja a função de Fresnel
definida como segue
- Em quais intervalos
é crescente ?