Seja a função de Fresnel
definida como segue
- Em quais intervalos
é crescente ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função de Fresnel está crescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para saber onde uma função está crescendo, a gente precisa olhar a sua derivada. A derivada de
em relação a
nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Passo 3
Calculando a derivada de
, temos:
Isso se deve ao Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral com limite variável é a própria função integranda avaliada nesse limite.
Passo 4
Agora, queremos saber onde
está crescendo. Isso acontece quando
:
A função seno é positiva em certos intervalos de seu argumento. Sabemos que quando
está entre
e
, entre
e
, e assim por diante, em cada intervalo de
.
Passo 5
Vamos igualar o argumento do seno a esses intervalos positivos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, tirando a raiz quadrada dos limites, encontramos os intervalos de
:
Isso significa que para cada
natural,
estará crescendo nos intervalos:
Resposta
A função
está crescente nos intervalos
e
para todo
.
Exercícios relacionados
Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iv) , o eixo
o eixo
e a reta
(iv)
Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
e
e
Calcule as integrais abaixo
Calcule as integrais abaixo