Seja a função de Fresnel S: R R definida como segue
S(x):=integral0^x sen(pi t^22) d t
  1. Em quais intervalos S é crescente ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função de Fresnel está crescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber onde uma função está crescendo, a gente precisa olhar a sua derivada. A derivada de em relação a nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Calculando a derivada de S'(x) = ddx ( integral0^x sen(pi t^22) dt ) = sen(pi x^22) , temos:
Isso se deve ao Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral com limite variável é a própria função integranda avaliada nesse limite.

Passo 4

Agora, queremos saber onde sen(pi x^22) > 0 está crescendo. Isso acontece quando :
A função seno é positiva em certos intervalos de seu argumento. Sabemos que quando está entre e , entre e , e assim por diante, em cada intervalo de .

Passo 5

Vamos igualar o argumento do seno a esses intervalos positivos:
pi x^22 in (2npi, (2n+1)pi) para n in N cup 0
Resolvendo para 2npi < pi x^22 < (2n+1)pi :
4n < x^2 < 4n + 2

Passo 6

Agora, tirando a raiz quadrada dos limites, encontramos os intervalos de -raiz4n + 2 < x < -raiz4n ou raiz4n < x < raiz4n + 2 :
x in (-raiz4n + 2, -raiz4n) cup (raiz4n, raiz4n + 2)
Isso significa que para cada natural, estará crescendo nos intervalos:

Resposta

A função está crescente nos intervalos e para todo .

Exercícios relacionados

Ache a área da zona delimitada pelas curvas dadas. Em cada caso 1) desenhe uma figura onde é representada a região procurada; 2) Calcule esta área.
(iv) y = raiz(2 x + 1), o eixo x o eixo y e a reta x = 4
Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
(0,0) e (2, -1) e (2,1)
Calcule as integrais abaixo integral2raiz3^2 t sec ^-1 d t
Calcule as integrais abaixo integral0^1raiz2 2 x sen^-1(x^2) d x