Ache os auto-valores do operador f, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a) f(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)
b) f(x, y)=(5 x-y, x+3 y)
c) f(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)
d) f(x, y, z)=(x+y, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício que pede para achar os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica. Estamos lidando com matrizes e seus auto-valores, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores de que satisfazem a equação característica da matriz associada ao operador .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 2 -1 & 4 como uma matriz. Dado que , a matriz associada é:

Passo 3

Agora, para encontrar os auto-valores ( det(A - lambda I) = 0 ) de A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade de ordem 2. Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
Expandindo:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 5lambda + 4 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Fatorando:
(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Portanto, os auto-valores são:
lambda1 = 2 e lambda2 = 3

Passo 6

Vamos encontrar os vetores próprios (eigenspaces) correspondentes a cada auto-valor.
Para A - 2I = -1 & 2 -1 & 2 :
Resolvemos -1x + 2y = 0 -1x + 2y = 0 :
x = 2y
Isso nos leva ao sistema:
2 1
Simplificando, temos:
Elambda1 = t 2 1 mid t in R
Então, os vetores próprios são múltiplos de A - 3I = -2 & 2 -1 & 1 . Portanto, o sub-espaço próprio é:
-2x + 2y = 0 -1x + y = 0
Para x = y :
Resolvemos 1 1 :
Elambda2 = t 1 1 mid t in R
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de . Portanto, o sub-espaço próprio é:

Passo 7

Por fim, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
  • Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o auto-valor aparece como raiz da equação característica.
    • Para : multiplicidade algébrica = 1
    • Para : multiplicidade algébrica = 1
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nos vetores próprios.
    • Para : multiplicidade geométrica = 1
    • Para : multiplicidade geométrica = 1

Resposta

Os auto-valores do operador Elambda1 = t 2 1 mid t in R são Elambda2 = t 1 1 mid t in R e .
  • Sub-espaço próprio para :
  • Sub-espaço próprio para :
  • Multiplicidades:
    • : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1
    • : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1

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