Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício que pede para achar os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica. Estamos lidando com matrizes e seus auto-valores, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores de que satisfazem a equação característica da matriz associada ao operador .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , a matriz associada é:
Passo 3
Agora, para encontrar os auto-valores () de , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade de ordem 2. Vamos calcular :
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Fatorando:
Portanto, os auto-valores são:
Passo 6
Vamos encontrar os vetores próprios (eigenspaces) correspondentes a cada auto-valor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de . Portanto, o sub-espaço próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de . Portanto, o sub-espaço próprio é:
Passo 7
Por fim, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o auto-valor aparece como raiz da equação característica.
Para : multiplicidade algébrica = 1
Para : multiplicidade algébrica = 1
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nos vetores próprios.