Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício que pede para achar os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica. Estamos lidando com matrizes e seus auto-valores, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores de
que satisfazem a equação característica da matriz associada ao operador
.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. Dado que
, a matriz associada é:
Passo 3
Agora, para encontrar os auto-valores (
) de
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade de ordem 2. Vamos calcular
:
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Fatorando:
Portanto, os auto-valores são:
Passo 6
Vamos encontrar os vetores próprios (eigenspaces) correspondentes a cada auto-valor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de
. Portanto, o sub-espaço próprio é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de
. Portanto, o sub-espaço próprio é:
Passo 7
Por fim, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
-
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o auto-valor aparece como raiz da equação característica.
- Para
: multiplicidade algébrica = 1 - Para
: multiplicidade algébrica = 1
- Para
-
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nos vetores próprios.
- Para
: multiplicidade geométrica = 1 - Para
: multiplicidade geométrica = 1
- Para
Resposta
Os auto-valores do operador
são
e
.
-
Sub-espaço próprio para
: -
Sub-espaço próprio para
: -
Multiplicidades:
-
: multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1 -
: multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1
-