Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício que pede para achar os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica. Estamos lidando com matrizes e seus auto-valores, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores de que satisfazem a equação característica da matriz associada ao operador .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , a matriz associada é:

Passo 3

Agora, para encontrar os auto-valores ( ) de , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade de ordem 2. Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Fatorando:
Portanto, os auto-valores são:

Passo 6

Vamos encontrar os vetores próprios (eigenspaces) correspondentes a cada auto-valor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de . Portanto, o sub-espaço próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando, temos:
Então, os vetores próprios são múltiplos de . Portanto, o sub-espaço próprio é:

Passo 7

Por fim, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
  • Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o auto-valor aparece como raiz da equação característica.
    • Para : multiplicidade algébrica = 1
    • Para : multiplicidade algébrica = 1
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nos vetores próprios.
    • Para : multiplicidade geométrica = 1
    • Para : multiplicidade geométrica = 1

Resposta

Os auto-valores do operador são e .
  • Sub-espaço próprio para :
  • Sub-espaço próprio para :
  • Multiplicidades:
    • : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1
    • : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1

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;
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