Determine uma equação geral do plano que é paralelo ao plano e que passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de um plano, chamado de , que seja paralelo a outro plano já conhecido, , e que passe pelo ponto . A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles têm a mesma vetor normal. O vetor normal de um plano é aquele vetor que é perpendicular a todo o plano. Na equação geral de um plano, , o vetor normal é .

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano . Olhando para a equação , os coeficientes de , e são , e , respectivamente. Então, o vetor normal de é .

Passo 4

Como o plano é paralelo a , ele tem o mesmo vetor normal. Portanto, a equação geral do plano vai ter a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Para descobrir o valor de , usamos o fato de que o plano passa pelo ponto . Isso significa que as coordenadas de devem satisfazer a equação do plano . Vamos substituir , e na equação:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

A equação geral do plano é:

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Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Determine um ponto e um vetor normal ao plano , nos seguintes casos:
;
Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
, e .
Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .