Determine uma equação geral do plano pi que é paralelo ao plano pi1: 2 x-y+4 z-6=0 e que passa pelo ponto P0=(1,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de um plano, chamado de pi, que seja paralelo a outro plano já conhecido, pi1: 2x - y + 4z - 6 = 0, e que passe pelo ponto P0=(1, 1, -2). A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles têm a mesma vetor normal. O vetor normal de um plano é aquele vetor que é perpendicular a todo o plano. Na equação geral de um plano, Ax + By + Cz + D = 0, o vetor normal é (A, B, C).

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano pi1. Olhando para a equação 2x - y + 4z - 6 = 0, os coeficientes de x, y e z são 2, -1 e 4, respectivamente. Então, o vetor normal de pi1 é n = (2, -1, 4).

Passo 4

Como o plano pi é paralelo a pi1, ele tem o mesmo vetor normal. Portanto, a equação geral do plano pi vai ter a forma 2x - y + 4z + D = 0, onde D é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Para descobrir o valor de D, usamos o fato de que o plano pi passa pelo ponto P0=(1, 1, -2). Isso significa que as coordenadas de P0 devem satisfazer a equação do plano pi. Vamos substituir x=1, y=1 e z=-2 na equação:
2(1) - (1) + 4(-2) + D = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar D:
2 - 1 - 8 + D = 0 -7 + D = 0 D = 7

Resposta

A equação geral do plano pi é:
2x - y + 4z + 7 = 0

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