Encontre duas equações vetoriais do plano que passa por A=(3,7,1), e é paralelo aos vetores u=(1,1,-1) e v=(-1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas equações vetoriais de um plano que passa pelo ponto A=(3,7,1) e é paralelo aos vetores u=(1,1,-1) e v=(-1,1,0). Isso envolve entender geometria vetorial e como descrever planos usando vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma equação vetorial de um plano pode ser escrita usando um ponto qualquer no plano e dois vetores que são paralelos a esse plano. No nosso caso, o ponto é A e os vetores são u e v.

Passo 3

A forma geral da equação vetorial de um plano é:
r = r0 + su + tv
onde:
  • r é o vetor posição qualquer no plano,
  • r0 é o vetor posição do ponto A,
  • s e t são escalares (podem ser quaisquer números reais).

Passo 4

Vamos identificar cada parte:
  • r0 = 3 7 1
  • u = 1 1 -1
  • v = -1 1 0

Passo 5

Substituindo esses vetores na fórmula geral, temos a primeira equação vetorial do plano:
r = 3 7 1 + s 1 1 -1 + t -1 1 0
onde s e t são parâmetros.

Passo 6

Para ter uma segunda equação vetorial, podemos reescrever a mesma ideia de forma ligeiramente diferente, trocando a ordem dos vetores ou os parâmetros. Por exemplo:
r = 3 7 1 + t -1 1 0 + s 1 1 -1
Isso é válido porque a ordem dos vetores na combinação linear não altera o plano.

Resposta

As duas equações vetoriais do plano são:
r = 3 7 1 + s 1 1 -1 + t -1 1 0
e
r = 3 7 1 + t -1 1 0 + s 1 1 -1

Exercícios relacionados