Encontre duas equações vetoriais do plano que passa por , e é paralelo aos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas equações vetoriais de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Isso envolve entender geometria vetorial e como descrever planos usando vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma equação vetorial de um plano pode ser escrita usando um ponto qualquer no plano e dois vetores que são paralelos a esse plano. No nosso caso, o ponto é e os vetores são e .

Passo 3

A forma geral da equação vetorial de um plano é:
onde:
  • é o vetor posição qualquer no plano,
  • é o vetor posição do ponto ,
  • e são escalares (podem ser quaisquer números reais).

Passo 4

Vamos identificar cada parte:

Passo 5

Substituindo esses vetores na fórmula geral, temos a primeira equação vetorial do plano:
onde e são parâmetros.

Passo 6

Para ter uma segunda equação vetorial, podemos reescrever a mesma ideia de forma ligeiramente diferente, trocando a ordem dos vetores ou os parâmetros. Por exemplo:
Isso é válido porque a ordem dos vetores na combinação linear não altera o plano.

Resposta

As duas equações vetoriais do plano são:
e

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Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
.
Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável (caso existam!), que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
e
Determine um ponto e um vetor normal ao plano , nos seguintes casos:
;
Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)