Determine a posição relativa e a interseção da reta r com o plano pi nos seguintes casos:
r:lx=2-lambda y=-3-3 lambda z=-lambda lambda in R, e pi: x+y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber como a reta se relaciona com o plano e, se elas se cruzarem, onde isso acontece. Isso envolve geometria espacial, especificamente análise da posição relativa entre uma reta e um plano. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas da reta e da equação geral do plano. Vamos descobrir se a reta está no plano, é paralela ou se cruza o plano em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que temos:
  • A reta x = 2 - lambda y = -3 - 3lambda z = -lambda está definida por: x + y + z = 2 onde é um parâmetro real.
  • O plano está definido por:

Passo 3

Para encontrar se a reta intercepta o plano , vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano. Isso vai nos dar uma equação para resolver o valor de .

Passo 4

Substituindo:
(2 - lambda) + (-3 - 3lambda) + (-lambda) = 2
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 5

Simplificando os termos:
2 - lambda - 3 - 3lambda - lambda = 2
(-lambda - 3lambda - lambda) + (2 - 3) = 2
-5lambda -1 = 2

Passo 6

Agora, vamos isolar -5lambda = 2 + 1 :
-5lambda = 3
lambda = -35

Passo 7

Com o valor de x = 2 - (-35) = 2 + 35 = 135 , vamos encontrar o ponto de interseção substituindo de volta nas equações da reta:
y = -3 - 3(-35) = -3 + 95 = -65
z = -(-35) = 35

Resposta

A reta intercepta o plano no ponto .

Exercícios relacionados