Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber como a reta se relaciona com o plano e, se elas se cruzarem, onde isso acontece. Isso envolve geometria espacial, especificamente análise da posição relativa entre uma reta e um plano. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas da reta e da equação geral do plano. Vamos descobrir se a reta está no plano, é paralela ou se cruza o plano em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que temos:
  • A reta está definida por: onde é um parâmetro real.
  • O plano está definido por:

Passo 3

Para encontrar se a reta intercepta o plano , vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano. Isso vai nos dar uma equação para resolver o valor de .

Passo 4

Substituindo:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 5

Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos isolar :

Passo 7

Com o valor de , vamos encontrar o ponto de interseção substituindo de volta nas equações da reta:

Resposta

A reta intercepta o plano no ponto .

Exercícios relacionados

Determine uma equação geral do plano que é paralelo ao plano e que passa pelo ponto .
Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .
Considere o tetraedro de vértices e . Determine
a altura do tetraedro em relação à base ;