Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos: , e pi: x+y+z=2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber como a reta se relaciona com o plano e, se elas se cruzarem, onde isso acontece. Isso envolve geometria espacial, especificamente análise da posição relativa entre uma reta e um plano. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas da reta e da equação geral do plano. Vamos descobrir se a reta está no plano, é paralela ou se cruza o plano em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que temos:
A reta x = 2 - lambda y = -3 - 3lambda z = -lambda está definida por: x + y + z = 2 onde é um parâmetro real.
O plano está definido por:
Passo 3
Para encontrar se a reta intercepta o plano , vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano. Isso vai nos dar uma equação para resolver o valor de .
Passo 4
Substituindo:
(2 - lambda) + (-3 - 3lambda) + (-lambda) = 2
Vamos simplificar essa equação para encontrar .
Passo 5
Simplificando os termos:
2 - lambda - 3 - 3lambda - lambda = 2
(-lambda - 3lambda - lambda) + (2 - 3) = 2
-5lambda -1 = 2
Passo 6
Agora, vamos isolar -5lambda = 2 + 1 :
-5lambda = 3
lambda = -35
Passo 7
Com o valor de x = 2 - (-35) = 2 + 35 = 135 , vamos encontrar o ponto de interseção substituindo de volta nas equações da reta: