Determine um ponto e um vetor normal ao plano
, nos seguintes casos:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um ponto e um vetor normal ao plano
pi dado pelas equações paramétricas:
Matéria envolvida: Equações paramétricas de planos, vetores direcionais e vetores normais.
O que vamos precisar:
- Identificar um ponto que pertence ao plano substituindo os parâmetros por valores específicos.
- Encontrar vetores diretores a partir das equações paramétricas.
- Calcular o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores direcionais.
Passo 2
Encontrando um ponto no plano
pi :
Para achar um ponto no plano, podemos atribuir valores específicos aos parâmetros
lambda e
beta . A escolha mais simples é definir ambos como zero.
- Quando
elambda = 0 :beta = 0 -
x = 2 + 3(0) = 2 -
y = 1 + 2(0) - 0 = 1 -
z = -0 + 2(0) = 0
-
Portanto, o ponto
P no plano é:
Passo 3
Identificando os vetores diretores:
Nas equações paramétricas do plano, os coeficientes de
lambda e
beta representam os vetores diretores.
- Coeficiente de
:lambda (3, 2, -1) - Coeficiente de
:beta (0, -1, 2)
Então, temos dois vetores diretores:
Passo 4
Calculando o vetor normal ao plano:
O vetor normal (
n ) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores
u e
v .
Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Portanto, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Resposta
O ponto
P(2, 1, 0) pertence ao plano
pi e um vetor normal ao plano é
n = 1 -2 -1 .