Determine um ponto e um vetor normal ao plano , nos seguintes casos:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um ponto e um vetor normal ao plano dado pelas equações paramétricas:
Matéria envolvida: Equações paramétricas de planos, vetores direcionais e vetores normais.
O que vamos precisar:
  1. Identificar um ponto que pertence ao plano substituindo os parâmetros por valores específicos.
  2. Encontrar vetores diretores a partir das equações paramétricas.
  3. Calcular o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores direcionais.

Passo 2

Encontrando um ponto no plano :
Para achar um ponto no plano, podemos atribuir valores específicos aos parâmetros e . A escolha mais simples é definir ambos como zero.
  • Quando e :
Portanto, o ponto no plano é:

Passo 3

Identificando os vetores diretores:
Nas equações paramétricas do plano, os coeficientes de e representam os vetores diretores.
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Então, temos dois vetores diretores:

Passo 4

Calculando o vetor normal ao plano:
O vetor normal ( ) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores e .
Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Portanto, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por 3:

Resposta

O ponto pertence ao plano e um vetor normal ao plano é .

Exercícios relacionados

Encontre duas equações vetoriais do plano que passa por , e é paralelo aos vetores e .
Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
.
Ache os auto-valores do operador , seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Determine uma equação geral do plano que é paralelo ao plano e que passa pelo ponto .