Determine um ponto e um vetor normal ao plano
, nos seguintes casos:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um ponto e um vetor normal ao plano
dado pelas equações paramétricas:
Matéria envolvida: Equações paramétricas de planos, vetores direcionais e vetores normais.
O que vamos precisar:
- Identificar um ponto que pertence ao plano substituindo os parâmetros por valores específicos.
- Encontrar vetores diretores a partir das equações paramétricas.
- Calcular o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores direcionais.
Passo 2
Encontrando um ponto no plano
:
Para achar um ponto no plano, podemos atribuir valores específicos aos parâmetros
e
. A escolha mais simples é definir ambos como zero.
- Quando
e : -
Portanto, o ponto
no plano é:
Passo 3
Identificando os vetores diretores:
Nas equações paramétricas do plano, os coeficientes de
e
representam os vetores diretores.
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Então, temos dois vetores diretores:
Passo 4
Calculando o vetor normal ao plano:
O vetor normal (
) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores
e
.
Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Portanto, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Resposta
O ponto
pertence ao plano
e um vetor normal ao plano é
.
Exercícios relacionados
Encontre duas equações vetoriais do plano que passa por
, e é paralelo aos vetores
e
.
Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto
pertence às retas.
.
Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determine uma equação geral do plano
que é paralelo ao plano
e que passa pelo ponto
.