Determine um ponto e um vetor normal ao plano pi, nos seguintes casos:
pi:lx=2+3 lambda y=1+2 lambda-beta z=-lambda+2 beta lambda, beta in R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um ponto e um vetor normal ao plano pi dado pelas equações paramétricas:
pi: l x=2+3 lambda y=1+2 lambda-beta z=-lambda+2 beta lambda, beta in R
Matéria envolvida: Equações paramétricas de planos, vetores direcionais e vetores normais.
O que vamos precisar:
  1. Identificar um ponto que pertence ao plano substituindo os parâmetros por valores específicos.
  2. Encontrar vetores diretores a partir das equações paramétricas.
  3. Calcular o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores direcionais.

Passo 2

Encontrando um ponto no plano pi:
Para achar um ponto no plano, podemos atribuir valores específicos aos parâmetros lambda e beta. A escolha mais simples é definir ambos como zero.
  • Quando lambda = 0 e beta = 0:
    • x = 2 + 3(0) = 2
    • y = 1 + 2(0) - 0 = 1
    • z = -0 + 2(0) = 0
Portanto, o ponto P no plano é:
P(2, 1, 0)

Passo 3

Identificando os vetores diretores:
Nas equações paramétricas do plano, os coeficientes de lambda e beta representam os vetores diretores.
  • Coeficiente de lambda: (3, 2, -1)
  • Coeficiente de beta: (0, -1, 2)
Então, temos dois vetores diretores:
u = 3 2 -1, v = 0 -1 2

Passo 4

Calculando o vetor normal ao plano:
O vetor normal ( n) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores u e v.
n = u times v
Vamos calcular o produto vetorial:
n = i & j & k 3 & 2 & -1 0 & -1 & 2
Expandindo o determinante:
n = i(2 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - j(3 cdot 2 - (-1) cdot 0) + k(3 cdot (-1) - 2 cdot 0)
Simplificando:
n = i(4 - 1) - j(6 - 0) + k(-3 - 0)
n = 3i - 6j - 3k
Portanto, o vetor normal é:
n = 3 -6 -3
Podemos simplificar dividindo por 3:
n = 1 -2 -1

Resposta

O ponto P(2, 1, 0) pertence ao plano pi e um vetor normal ao plano é n = 1 -2 -1.

Exercícios relacionados