Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os auto-valores do operador
, os sub-espaços próprios correspondentes e as multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes, para achar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. O operador é definido por:
Isso pode ser escrito na forma matricial:
Aqui, a matriz
representa a transformação linear
.
Passo 3
Agora, para encontrar os auto-valores (
) de
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Portanto, os auto-valores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios (sub-espaços próprios) para cada auto-valor.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação:
Então, os vetores próprios são da forma:
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação:
Então, os vetores próprios são da forma:
Passo 6
Agora, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
-
Multiplicidade algébrica: É o número de vezes que cada auto-valor aparece como raiz da equação característica.
- Para
, a multiplicidade algébrica é 1. - Para
, a multiplicidade algébrica é 1.
- Para
-
Multiplicidade geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente a cada auto-valor.
- Para
, o sub-espaço próprio é gerado por , então a multiplicidade geométrica é 1. - Para
, o sub-espaço próprio é gerado por , então a multiplicidade geométrica é 1.
- Para
Resposta
Os auto-valores do operador
são
e
. O sub-espaço próprio correspondente a
é gerado por
e, para
, é gerado por
. As multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor são ambas iguais a 1.