Ache os auto-valores do operador f, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
32a
f(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os auto-valores do operador , os sub-espaços próprios correspondentes e as multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes, para achar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador f(x, y) = (x + 2y, -x + 4y) como uma matriz. O operador é definido por:
A = 1 & 2 -1 & 4
Isso pode ser escrito na forma matricial:
Aqui, a matriz representa a transformação linear .

Passo 3

Agora, para encontrar os auto-valores ( det(A - lambda I) = 0 ) de A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda , precisamos resolver a equação característica:
(1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
Onde (1 cdot 4) - 1 cdot lambda - 4 cdot lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6 é a matriz identidade. Vamos calcular:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática (lambda - 2)(lambda - 3) = 0 . Podemos fatorar:
lambda1 = 2 e lambda2 = 3
Portanto, os auto-valores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios (sub-espaços próprios) para cada auto-valor.
Para -1 & 2 -1 & 2 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos - v1 + 2v2 = 0 implies v1 = 2v2 :
v = v2 2 1 , v2 in R
Isso nos dá a equação:
-2 & 2 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Então, os vetores próprios são da forma:
-2v1 + 2v2 = 0 implies v1 = v2
Para v = v2 1 1 , v2 in R :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Então, os vetores próprios são da forma:

Passo 6

Agora, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor.
  • Multiplicidade algébrica: É o número de vezes que cada auto-valor aparece como raiz da equação característica.
    • Para 2 1 , a multiplicidade algébrica é 1.
    • Para 1 1 , a multiplicidade algébrica é 1.
  • Multiplicidade geométrica: É a dimensão do sub-espaço próprio correspondente a cada auto-valor.
    • Para , o sub-espaço próprio é gerado por , então a multiplicidade geométrica é 1.
    • Para , o sub-espaço próprio é gerado por , então a multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Os auto-valores do operador 2 1 são 1 1 e . O sub-espaço próprio correspondente a é gerado por e, para , é gerado por . As multiplicidades algébrica e geométrica de cada auto-valor são ambas iguais a 1.

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