Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole). x^2+4 x+28=8 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma cônica: . Precisamos identificar se essa cônica é uma parábola, elipse ou hipérbole e, com base nisso, encontrar o foco (ou focos), a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole). Para isso, vamos reorganizar a equação para identificar o tipo de cônica e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é:
x^2 + 4x + 28 = 8y
Subtraindo 8y de ambos os lados:
x^2 + 4x + 28 - 8y = 0
Agora, isolamos os termos que envolvem x^2 + 4x = 8y - 28 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte que envolve x^2 + 4x = 8y - 28 . Isso nos ajudará a escrever a equação na forma padrão de uma parábola.
x^2 + 4x + 4 = 8y - 28 + 4
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos (x + 2)^2 = 8y - 24 :

Passo 4

Agora, vamos isolar (x + 2)^2 = 8(y - 3) para colocar a equação na forma padrão da parábola:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Passo 5

Agora que temos Foco = (h, k + p) = (-2, 3 + 2) = (-2, 5) , podemos encontrar o foco e a reta diretriz da parábola:
  • Foco: está localizado a uma distância Reta Diretriz: y = k - p = 3 - 2 = 1 acima do vértice (já que a parábola abre para cima).
  • Reta Diretriz: é a linha horizontal que está a uma distância abaixo do vértice.

Resposta

A parábola tem seu foco em e a reta diretriz é . Como é uma parábola, não possui assíntotas.

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