Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de uma cônica:
. Precisamos identificar se essa cônica é uma parábola, elipse ou hipérbole e, com base nisso, encontrar o foco (ou focos), a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole). Para isso, vamos reorganizar a equação para identificar o tipo de cônica e aplicar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para facilitar a identificação da cônica. A equação dada é:
Subtraindo 8y de ambos os lados:
Agora, isolamos os termos que envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte que envolve
. Isso nos ajudará a escrever a equação na forma padrão de uma parábola.
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para colocar a equação na forma padrão da parábola:
A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
-
-
-
→
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar o foco e a reta diretriz da parábola:
- Foco: está localizado a uma distância
acima do vértice (já que a parábola abre para cima). - Reta Diretriz: é a linha horizontal que está a uma distância
abaixo do vértice.
Resposta
A parábola
tem seu foco em
e a reta diretriz é
. Como é uma parábola, não possui assíntotas.