Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[cc1 & 2 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores, os autovetores e os autoespaços da matriz dada. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada alpha e obter uma matriz diagonal semelhante à original. A matriz que vamos trabalhar é:
A = 1 & 2 0 & -1
Para isso, vamos precisar conhecer como calcular autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonal e ser semelhante a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Vamos calcular:
A - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & -1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
(1 - lambda)(-1 - lambda) - (0 cdot 2) = (1 - lambda)(-1 - lambda)
Então:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 1 e lambda2 = -1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor v para um autovalor lambda satisfaz:
(A - lambda I)v = 0
Vamos começar com lambda1 = 1:
A - 1I = 0 & 2 0 & -2
Resolvendo (A - 1I)v = 0:
0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - 2 cdot v2 = 0
Ambas as equações nos dão v2 = 0. Então, o autovetor pode ser qualquer vetor onde v2 = 0. Vamos escolher v1 = 1:
v1 = 1 0
Agora, para lambda2 = -1:
A - (-1)I = 2 & 2 0 & 0
Resolvendo (A + I)v = 0:
2 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
A primeira equação nos dá v1 = -v2. Vamos escolher v2 = 1:
v2 = -1 1

Passo 4

Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos identificar os autoespaços. O autoespaço para cada autovalor é o conjunto de todos os autovetores correspondentes mais o vetor zero.
Para lambda1 = 1:
Autoespaço = k 1 0 , | , k in R ç
Para lambda2 = -1:
Autoespaço = k -1 1 , | , k in R ç

Passo 5

Vamos formar a base de autovetores alpha com os autovetores que encontramos:
alpha = 1 0 , -1 1
Agora, vamos montar a matriz de mudança de base P cujas colunas são os autovetores:
P = 1 & -1 0 & 1

Passo 6

Para obter a matriz diagonal [A]alpha^alpha, usamos a relação:
[A]alpha^alpha = P^-1AP
Primeiro, calculamos P^-1. A inversa de P é:
P^-1 = 1 & 1 0 & 1
Agora, multiplicamos as matrizes:
[A]alpha^alpha = P^-1AP = 1 & 1 0 & 1 1 & 2 0 & -1 1 & -1 0 & 1
Simplificando a multiplicação, obtemos uma matriz diagonal:
[A]alpha^alpha = 1 & 0 0 & -1

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 1 e lambda2 = -1. Os autovetores correspondentes são 1 0 para lambda1 e -1 1 para lambda2. Os autoespaços são as linhas geradas por esses autovetores. A base de autovetores alpha é 1 0 , -1 1 , e a matriz semelhante a A que é diagonal é:
[A]alpha^alpha = 1 & 0 0 & -1

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