Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores, os autovetores e os autoespaços da matriz dada. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada e obter uma matriz diagonal semelhante à original. A matriz que vamos trabalhar é:
Para isso, vamos precisar conhecer como calcular autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonal e ser semelhante a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor para um autovalor satisfaz:
Vamos começar com :
Resolvendo :
Ambas as equações nos dão . Então, o autovetor pode ser qualquer vetor onde . Vamos escolher :
Agora, para :
Resolvendo :
A primeira equação nos dá . Vamos escolher :
Passo 4
Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos identificar os autoespaços. O autoespaço para cada autovalor é o conjunto de todos os autovetores correspondentes mais o vetor zero.
Para :
Para :
Passo 5
Vamos formar a base de autovetores com os autovetores que encontramos:
Agora, vamos montar a matriz de mudança de base cujas colunas são os autovetores:
Passo 6
Para obter a matriz diagonal , usamos a relação:
Primeiro, calculamos . A inversa de é:
Agora, multiplicamos as matrizes:
Simplificando a multiplicação, obtemos uma matriz diagonal:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são para e para . Os autoespaços são as linhas geradas por esses autovetores. A base de autovetores é , e a matriz semelhante a que é diagonal é: