Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores
e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores, os autovetores e os autoespaços da matriz dada. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada
e obter uma matriz diagonal semelhante à original. A matriz que vamos trabalhar é:
Para isso, vamos precisar conhecer como calcular autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonal e ser semelhante a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor
para um autovalor
satisfaz:
Vamos começar com
:
Resolvendo
:
Ambas as equações nos dão
. Então, o autovetor pode ser qualquer vetor onde
. Vamos escolher
:
Agora, para
:
Resolvendo
:
A primeira equação nos dá
. Vamos escolher
:
Passo 4
Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos identificar os autoespaços. O autoespaço para cada autovalor é o conjunto de todos os autovetores correspondentes mais o vetor zero.
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos formar a base de autovetores
com os autovetores que encontramos:
Agora, vamos montar a matriz de mudança de base
cujas colunas são os autovetores:
Passo 6
Para obter a matriz diagonal
, usamos a relação:
Primeiro, calculamos
. A inversa de
é:
Agora, multiplicamos as matrizes:
Simplificando a multiplicação, obtemos uma matriz diagonal:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
. Os autovetores correspondentes são
para
e
para
. Os autoespaços são as linhas geradas por esses autovetores. A base de autovetores
é
, e a matriz semelhante a
que é diagonal é: