Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação
que pega um polinômio de grau até 3, ou seja, da forma
, e transforma ele em
. O conteúdo aqui envolve Álgebra Linear, especialmente os conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar o núcleo e a imagem dela, e determinar bases para esses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo,
, é o conjunto de todos os vetores (nesse caso, polinômios) que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios
tais que
.
Passo 3
Então, igualamos a transformação a zero:
Isso significa que cada coeficiente dessa expressão deve ser igual a zero:
Passo 4
Resolvendo essas equações, temos:
-
implica que . -
implica que . -
.
Portanto, os coeficientes
,
e
devem ser zero. O único que sobra é
, que pode ser qualquer número real.
Passo 5
Isso significa que todo polinômio no núcleo tem a forma
. Ou seja, o núcleo é composto por todos os polinômios constantes.
Passo 6
Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como qualquer polinômio constante pode ser escrito como
, onde
é o polinômio constante, uma base para o núcleo é simplesmente
.
Passo 7
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como nossa base tem apenas um elemento, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem da transformação
. A imagem,
, é o conjunto de todos os possíveis resultados de
aplicados aos vetores de
. Olhando para a transformação:
Podemos ver que a imagem será composta por polinômios da forma
.
Passo 9
Para encontrar uma base para a imagem, vamos identificar os vetores que geram todos esses polinômios. Observamos que:
-
é múltiplo de , -
é múltiplo de , -
é constante.
Portanto, podemos considerar os polinômios
,
e
como geradores.
Passo 10
Verificando a independência linear, vemos que nenhum desses polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim, uma base para a imagem é
.
Passo 11
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base tem três elementos, a dimensão da imagem é 3.
Resposta
- Base do núcleo:
- Dimensão do núcleo: 1
- Base da imagem:
- Dimensão da imagem: 3