Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. f: P3 P3 tal que f(a^3+b x^2+c x+d)=3 a^2+2 b x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação f: P3 P3 que pega um polinômio de grau até 3, ou seja, da forma a^3+b x^2+c x+d, e transforma ele em 3 a^2+2 b x+c. O conteúdo aqui envolve Álgebra Linear, especialmente os conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar o núcleo e a imagem dela, e determinar bases para esses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, Ker(f), é o conjunto de todos os vetores (nesse caso, polinômios) que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios a^3+b x^2+c x+d tais que f(a^3+b x^2+c x+d) = 0.

Passo 3

Então, igualamos a transformação a zero:
3 a^2 + 2 b x + c = 0
Isso significa que cada coeficiente dessa expressão deve ser igual a zero:
3a^2 = 0 2b = 0 c = 0

Passo 4

Resolvendo essas equações, temos:
  1. 3a^2 = 0 implica que a = 0.
  2. 2b = 0 implica que b = 0.
  3. c = 0.
Portanto, os coeficientes a, b e c devem ser zero. O único que sobra é d, que pode ser qualquer número real.

Passo 5

Isso significa que todo polinômio no núcleo tem a forma 0 cdot x^3 + 0 cdot x^2 + 0 cdot x + d = d. Ou seja, o núcleo é composto por todos os polinômios constantes.

Passo 6

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como qualquer polinômio constante pode ser escrito como d cdot 1, onde 1 é o polinômio constante, uma base para o núcleo é simplesmente 1.

Passo 7

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como nossa base tem apenas um elemento, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação f. A imagem, Im(f), é o conjunto de todos os possíveis resultados de f aplicados aos vetores de P3. Olhando para a transformação:
f(a^3+b x^2+c x+d) = 3 a^2 + 2 b x + c
Podemos ver que a imagem será composta por polinômios da forma 3a^2 + 2bx + c.

Passo 9

Para encontrar uma base para a imagem, vamos identificar os vetores que geram todos esses polinômios. Observamos que:
  • 3a^2 é múltiplo de x^2,
  • 2b x é múltiplo de x,
  • c é constante.
Portanto, podemos considerar os polinômios x^2, x e 1 como geradores.

Passo 10

Verificando a independência linear, vemos que nenhum desses polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim, uma base para a imagem é x^2, x, 1.

Passo 11

A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base tem três elementos, a dimensão da imagem é 3.

Resposta

  • Base do núcleo: 1
  • Dimensão do núcleo: 1
  • Base da imagem: x^2, x, 1
  • Dimensão da imagem: 3

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