Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação que pega um polinômio de grau até 3, ou seja, da forma , e transforma ele em . O conteúdo aqui envolve Álgebra Linear, especialmente os conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar o núcleo e a imagem dela, e determinar bases para esses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, , é o conjunto de todos os vetores (nesse caso, polinômios) que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios tais que .

Passo 3

Então, igualamos a transformação a zero:
Isso significa que cada coeficiente dessa expressão deve ser igual a zero:

Passo 4

Resolvendo essas equações, temos:
  1. implica que .
  2. implica que .
  3. .
Portanto, os coeficientes , e devem ser zero. O único que sobra é , que pode ser qualquer número real.

Passo 5

Isso significa que todo polinômio no núcleo tem a forma . Ou seja, o núcleo é composto por todos os polinômios constantes.

Passo 6

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo. Como qualquer polinômio constante pode ser escrito como , onde é o polinômio constante, uma base para o núcleo é simplesmente .

Passo 7

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como nossa base tem apenas um elemento, a dimensão do núcleo é 1.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem, , é o conjunto de todos os possíveis resultados de aplicados aos vetores de . Olhando para a transformação:
Podemos ver que a imagem será composta por polinômios da forma .

Passo 9

Para encontrar uma base para a imagem, vamos identificar os vetores que geram todos esses polinômios. Observamos que:
  • é múltiplo de ,
  • é múltiplo de ,
  • é constante.
Portanto, podemos considerar os polinômios , e como geradores.

Passo 10

Verificando a independência linear, vemos que nenhum desses polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim, uma base para a imagem é .

Passo 11

A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base tem três elementos, a dimensão da imagem é 3.

Resposta

  • Base do núcleo:
  • Dimensão do núcleo: 1
  • Base da imagem:
  • Dimensão da imagem: 3

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