Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ccc1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores para a matriz 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2. Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando o determinante da matriz , depois achar os autovetores correspondentes a cada autovalor e, por fim, verificar se conseguimos formar uma base de autovetores para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2 - lambda . Para isso, precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) -lambda & 1 1 & 2 - lambda - 0 + 2 -1 & -lambda 1 & 1
Calculando os menores:
= (1 - lambda) [(-lambda)(2 - lambda) - (1)(1)] + 2 [(-1)(1) - (-lambda)(1)]
= (1 - lambda) [ -2lambda + lambda^2 - 1 ] + 2 [ -1 + lambda ]
= (1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 1) + 2(lambda - 1)

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar:
(1)(lambda^2 - 2lambda - 1) - lambda (lambda^2 - 2lambda - 1) + 2lambda - 2
= lambda^2 - 2lambda - 1 - lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2lambda - 2
= -lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação cúbica. Testando possíveis raízes racionais, verificamos que 1^3 - 3(1)^2 - 1 + 3 = 1 - 3 - 1 + 3 = 0 é uma solução:
lambda^3 - 3lambda^2 - lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda - 3)
Agora, fatoramos lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 da equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, e .

Passo 6

Agora, temos os autovalores: A - I = 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 , 0x + 0y + 2z = 0 Rightarrow z = 0 e - x - y + z = 0 Rightarrow -x - y = 0 Rightarrow x = -y .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo x + y + z = 0 Rightarrow x + y = 0 Rightarrow x = -y .
Para -1 1 0:
A - 3I = -2 & 0 & 2 -1 & -3 & 1 1 & 1 & -1
Resolvendo o sistema:
-2x + 0y + 2z = 0 Rightarrow -2x + 2z = 0 Rightarrow x = z
- x - 3y + z = 0
x + y - z = 0
Então, podemos escolher - z - 3y + z = -3y = 0 Rightarrow y = 0 , z + 0 - z = 0 , 1 0 1.
Autovetor: A + I = 2 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 3
Para 2x + 0y + 2z = 0 Rightarrow 2x + 2z = 0 Rightarrow x = -z :
- x + y + z = 0 Rightarrow -(-z) + y + z = z + y + z = y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z
Resolvendo o sistema:
x + y + 3z = 0 Rightarrow -z -2z + 3z = 0
-1 -2 1
Substituindo nas últimas duas equações:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:

Passo 7

Agora, vamos verificar os autoespaços e a base de autovetores.
Cada autovalor tem um autovetor associado, e como temos três autovalores distintos, os três autovetores são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar uma base de autovetores [A]alpha^alpha = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 .
Com essa base, a matriz é semelhante a uma matriz diagonal , onde os elementos da diagonal são os autovalores correspondentes:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = -1 1 0, v2 = 1 0 1, v3 = -1 -2 1 são [A]alpha^alpha = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 , e . Os autovetores correspondentes são:
Os autoespaços são gerados por esses autovetores, e a base de autovetores permite diagonalizar a matriz da seguinte forma:

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