Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores para a matriz . Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando o determinante da matriz , depois achar os autovetores correspondentes a cada autovalor e, por fim, verificar se conseguimos formar uma base de autovetores para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando os menores:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1 para facilitar:

Passo 5

Vamos resolver essa equação cúbica. Testando possíveis raízes racionais, verificamos que é uma solução:
Agora, fatoramos da equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, e .

Passo 6

Agora, temos os autovalores: , e .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Substituindo nas últimas duas equações:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:

Passo 7

Agora, vamos verificar os autoespaços e a base de autovetores.
Cada autovalor tem um autovetor associado, e como temos três autovalores distintos, os três autovetores são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar uma base de autovetores .
Com essa base, a matriz é semelhante a uma matriz diagonal , onde os elementos da diagonal são os autovalores correspondentes:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
Os autoespaços são gerados por esses autovetores, e a base de autovetores permite diagonalizar a matriz da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares: tal que
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .