Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores para a matriz . Esse assunto faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando o determinante da matriz , depois achar os autovetores correspondentes a cada autovalor e, por fim, verificar se conseguimos formar uma base de autovetores para diagonalizar a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz fica assim:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando os menores:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 5
Vamos resolver essa equação cúbica. Testando possíveis raízes racionais, verificamos que é uma solução:
Agora, fatoramos da equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, e .
Passo 6
Agora, temos os autovalores: , e .
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Substituindo nas últimas duas equações:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Então, podemos escolher , , .
Autovetor:
Passo 7
Agora, vamos verificar os autoespaços e a base de autovetores.
Cada autovalor tem um autovetor associado, e como temos três autovalores distintos, os três autovetores são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar uma base de autovetores .
Com essa base, a matriz é semelhante a uma matriz diagonal , onde os elementos da diagonal são os autovalores correspondentes:
Resposta
Os autovalores da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
Os autoespaços são gerados por esses autovetores, e a base de autovetores permite diagonalizar a matriz da seguinte forma: