Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares: tal que

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação linear por uma matriz. Como , a matriz associada a é:
Isso porque o primeiro componente de é , que corresponde à entrada na primeira linha, e o segundo componente é , correspondente à entrada na segunda linha.

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz , precisamos resolver o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos a equação , onde é o autovetor.

Passo 8

Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, temos . A segunda equação confirma que . Então, os autovetores para são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

Passo 9

Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, temos . A segunda equação não acrescenta informações novas. Portanto, os autovetores para são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

Resposta

Os autovalores da transformação são e .
  • Para , os autovetores são todos os vetores da forma , onde .
  • Para , os autovetores são todos os vetores da forma , onde .

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Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: