Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares: tal que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação linear por uma matriz. Como , a matriz associada a é:
Isso porque o primeiro componente de é , que corresponde à entrada na primeira linha, e o segundo componente é , correspondente à entrada na segunda linha.
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz , precisamos resolver o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Calculando , temos:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Passo 8
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, temos . A segunda equação confirma que . Então, os autovetores para são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.
Passo 9
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, temos . A segunda equação não acrescenta informações novas. Portanto, os autovetores para são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.
Resposta
Os autovalores da transformação são e .
Para , os autovetores são todos os vetores da forma , onde .
Para , os autovetores são todos os vetores da forma , onde .