Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares: T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(y, 2 y)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (y, 2y). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação linear T por uma matriz. Como T(x, y) = (y, 2y), a matriz associada a T é:
A = 0 & 1 0 & 2
Isso porque o primeiro componente de T(x, y) é y, que corresponde à entrada (0,1) na primeira linha, e o segundo componente é 2y, correspondente à entrada (0,2) na segunda linha.

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz A, precisamos resolver o polinômio característico, que é dado por det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I, temos:
A - lambda I = 0 - lambda & 1 0 & 2 - lambda = -lambda & 1 0 & 2 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda)(2 - lambda) - (0)(1) = -lambda(2 - lambda) = lambda^2 - 2lambda

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 2lambda = 0 lambda(lambda - 2) = 0 lambda = 0 ou lambda = 2
Portanto, os autovalores são lambda = 0 e lambda = 2.

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor lambda, resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0, onde v é o autovetor.

Passo 8

Para lambda = 0:
A - 0I = A = 0 & 1 0 & 2
Resolvendo Av = 0:
0x + y = 0 0x + 2y = 0
Da primeira equação, temos y = 0. A segunda equação confirma que y = 0. Então, os autovetores para lambda = 0 são todos os vetores da forma x 0 , onde x é um número real qualquer.

Passo 9

Para lambda = 2:
A - 2I = -2 & 1 0 & 0
Resolvendo (A - 2I)v = 0:
-2x + y = 0 0x + 0y = 0
Da primeira equação, temos y = 2x. A segunda equação não acrescenta informações novas. Portanto, os autovetores para lambda = 2 são todos os vetores da forma x 2x , onde x é um número real qualquer.

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda = 0 e lambda = 2.
  • Para lambda = 0, os autovetores são todos os vetores da forma x 0 , onde x in R.
  • Para lambda = 2, os autovetores são todos os vetores da forma x 2x , onde x in R.

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