Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares:
tal que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação linear
por uma matriz. Como
, a matriz associada a
é:
Isso porque o primeiro componente de
é
, que corresponde à entrada
na primeira linha, e o segundo componente é
, correspondente à entrada
na segunda linha.
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz
, precisamos resolver o polinômio característico, que é dado por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Calculando
, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor
, resolvemos a equação
, onde
é o autovetor.
Passo 8
Para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação, temos
. A segunda equação confirma que
. Então, os autovetores para
são todos os vetores da forma
, onde
é um número real qualquer.
Passo 9
Para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação, temos
. A segunda equação não acrescenta informações novas. Portanto, os autovetores para
são todos os vetores da forma
, onde
é um número real qualquer.
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
.
-
Para
, os autovetores são todos os vetores da forma , onde . -
Para
, os autovetores são todos os vetores da forma , onde .