Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz . A missão é encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços dessa matriz. Além disso, se der certo, vamos montar uma base de autovetores chamada e transformar a matriz original em uma matriz diagonal semelhante a ela, notada como . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, resolução de sistemas lineares e transformação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade. Vamos calcular essa determinante:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Expandindo os termos:
Fatorando :
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos .
Para :
Montamos a matriz :
Resolvendo o sistema:
Simplificando, obtemos:
Podemos escolher e , ou e . Então, os autovetores são:
Passo 4
Como a matriz é uma matriz real com autovalores complexos, ela não é diagonalizável no conjunto dos números reais. Os autovalores e são complexos, e os autovetores correspondentes também serão complexos. Portanto, a base de autovetores reais não pode ser formada apenas com os autovetores de .
Passo 5
Mesmo assim, podemos escrever a matriz em uma forma quase diagonal, levando em conta que ela não é completamente diagonalizável sobre os reais. A parte real é representada pelos autovetores reais encontrados, e a parte complexa permanece na matriz.
Resposta
Os autovalores da matriz são , e . O autovetor real correspondente a é e . A matriz não é diagonalizável sobre os números reais devido à presença de autovalores complexos.