Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ccc1 & 3 & 3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1]

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz 1 & 3 & 3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1 . A missão é encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços dessa matriz. Além disso, se der certo, vamos montar uma base de autovetores chamada e transformar a matriz original em uma matriz diagonal semelhante a ela, notada como . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, resolução de sistemas lineares e transformação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de 1 - lambda & 3 & 3 0 & 4 - lambda & 0 -3 & 3 & 1 - lambda . Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 3] - 3[0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot (-3)] + 3[0 cdot 3 - (4 - lambda)(-3)] que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = (1 - lambda)( (4 - lambda)(1 - lambda) ) + 3 cdot 3 (4 - lambda) = 0 , onde (1 - lambda)(4 - lambda)(1 - lambda) + 9(4 - lambda) = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular essa determinante:
(4 - lambda)[(1 - lambda)^2 + 9] = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
lambda1 = 4
Simplificando:
lambda2 = 1 + 3i
Expandindo os termos:
lambda3 = 1 - 3i
Fatorando :
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A - 4I = -3 & 3 & 3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -3 . Para cada autovalor, resolvemos -3x1 + 3x2 + 3x3 = 0 .
Para 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 :
Montamos a matriz -3x1 + 3x2 - 3x3 = 0 :
x1 = x2 + x3
Resolvendo o sistema:
v1 = 1 1 0 , v2 = 1 0 1
Simplificando, obtemos:
Podemos escolher e , ou e . Então, os autovetores são:

Passo 4

Como a matriz é uma matriz real com autovalores complexos, ela não é diagonalizável no conjunto dos números reais. Os autovalores e são complexos, e os autovetores correspondentes também serão complexos. Portanto, a base de autovetores reais não pode ser formada apenas com os autovetores de .

Passo 5

Mesmo assim, podemos escrever a matriz em uma forma quase diagonal, levando em conta que ela não é completamente diagonalizável sobre os reais. A parte real é representada pelos autovetores reais encontrados, e a parte complexa permanece na matriz.

Resposta

Os autovalores da matriz 1 1 0 são 1 0 1 , e . O autovetor real correspondente a é e . A matriz não é diagonalizável sobre os números reais devido à presença de autovalores complexos.

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