Seja e C=[cc3 & -1 2 & 1]. Determine a matriz X tal que X C=I2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três matrizes: , e . A tarefa é encontrar uma matriz tal que quando a gente multiplica por , o resultado seja a matriz identidade . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com o conceito de matriz inversa. Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz identidade I2 = 1 & 0 0 & 1 . Ela é uma matriz quadrada que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições:
Quando a gente quer que , isso significa que é a inversa de , ou seja, .
Passo 3
Vamos relembrar como encontrar a inversa de uma matriz C = a & b c & d . Se temos uma matriz:
C^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
A inversa de é dada por:
Desde que o determinante seja diferente de zero.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa matriz C = 3 & -1 2 & 1 :
Aqui, , , , e .
Passo 5
Primeiro, calculamos o determinante de det(C) = (3)(1) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5 :
Como o determinante é 5 (diferente de zero), a matriz tem inversa.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
C^-1 = 15 1 & 1 -2 & 3
Multiplicando cada elemento da matriz por C^-1 = 15 & 15 -25 & 35 :