Seja e . Determine a matriz tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três matrizes: , e . A tarefa é encontrar uma matriz tal que quando a gente multiplica por , o resultado seja a matriz identidade . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com o conceito de matriz inversa. Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz identidade . Ela é uma matriz quadrada que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições:
Quando a gente quer que , isso significa que é a inversa de , ou seja, .

Passo 3

Vamos relembrar como encontrar a inversa de uma matriz . Se temos uma matriz:
A inversa de é dada por:
Desde que o determinante seja diferente de zero.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa matriz :
Aqui, , , , e .

Passo 5

Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 5 (diferente de zero), a matriz tem inversa.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
Multiplicando cada elemento da matriz por :

Resposta

A matriz que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. tal que