Seja A=[ccc2 & -1 & 1 0 & 1 & -3], B=[cc3 & 1 -1 & 1 0 & 2] e C=[cc3 & -1 2 & 1]. Determine a matriz X tal que X C=I2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três matrizes: , e . A tarefa é encontrar uma matriz tal que quando a gente multiplica por , o resultado seja a matriz identidade . Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com o conceito de matriz inversa. Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz identidade I2 = 1 & 0 0 & 1 . Ela é uma matriz quadrada que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições:
Quando a gente quer que , isso significa que é a inversa de , ou seja, .

Passo 3

Vamos relembrar como encontrar a inversa de uma matriz C = a & b c & d . Se temos uma matriz:
C^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
A inversa de é dada por:
Desde que o determinante seja diferente de zero.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa matriz C = 3 & -1 2 & 1 :
Aqui, , , , e .

Passo 5

Primeiro, calculamos o determinante de det(C) = (3)(1) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5 :
Como o determinante é 5 (diferente de zero), a matriz tem inversa.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
C^-1 = 15 1 & 1 -2 & 3
Multiplicando cada elemento da matriz por C^-1 = 15 & 15 -25 & 35 :

Resposta

A matriz X = 15 & 15 -25 & 35 que satisfaz é:

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