Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços de uma matriz. A gente vai usar alguns conceitos como determinantes e sistemas de equações para isso. No final, se der certo, também vamos formar uma base de autovetores e encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante à original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para isso, resolvemos , onde é o autovetor.
Vamos começar com :
Isso resulta em um sistema de equações linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 6

Devido à simetria do sistema, basta resolver uma das equações para encontrar a relação entre e do autovetor . Supondo que , podemos encontrar :
Substituindo :
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 7

Repetindo o processo para , encontramos o autovetor :
Então, o autovetor é:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos formar os autoespaços correspondentes. Cada autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos escalares do autovetor associado.
Para :
Para :

Passo 9

Por fim, vamos ver se conseguimos formar uma base de autovetores . Como temos dois autovetores linearmente independentes, podemos formar essa base. Então, a matriz diagonal semelhante �� original será:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .
Os autovetores correspondentes são:
Os autoespaços são:
E a matriz semelhante e diagonal é:

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