Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de polinômios que são mapeados para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os possíveis resultados da transformação) dessa transformação.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo da transformação
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
em
que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:
Substituindo a definição de
:
Passo 3
A equação
deve valer para todo
. Isso só acontece se o coeficiente de
for zero:
Passo 4
Com
, o polinômio original fica:
Portanto, o núcleo é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau ou constantes, ou seja, polinômios que não possuem o termo
.
Passo 5
Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos encontrar polinômios que gerem todos os possíveis
. Os polinômios
e
satisfazem isso, pois qualquer combinação linear de
e
pode representar qualquer polinômio do núcleo.
Então, uma base para o núcleo é:
Passo 6
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como a base do núcleo tem dois polinômios (
e
), temos:
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem da transformação
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a qualquer polinômio de
.
Dado que:
Percebe-se que a imagem consiste em todos os múltiplos de
com coeficiente
.
Passo 8
Para encontrar uma base da imagem, observamos que todos os elementos da imagem são múltiplos de
. Portanto,
sozinho gera toda a imagem.
Logo, uma base para a imagem é:
Passo 9
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como a base da imagem contém apenas um polinômio (
), temos:
Resposta
O núcleo de
tem base
e dimensão 2. A imagem de
tem base
e dimensão 1.