Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. f: P2 P2 tal que f(a x^2+b x+c)=2 a x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de polinômios que são mapeados para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os possíveis resultados da transformação) dessa transformação.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo da transformação f(a x^2 + b x + c) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios 2 a x^2 = 0 em que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:
Substituindo a definição de :

Passo 3

A equação 2 a = 0 implies a = 0 deve valer para todo . Isso só acontece se o coeficiente de for zero:

Passo 4

Com p(x) = 0 cdot x^2 + b x + c = b x + c , o polinômio original fica:
Portanto, o núcleo é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau ou constantes, ou seja, polinômios que não possuem o termo .

Passo 5

Para encontrar uma base para o núcleo, precisamos encontrar polinômios que gerem todos os possíveis x, 1 . Os polinômios e satisfazem isso, pois qualquer combinação linear de e pode representar qualquer polinômio do núcleo.
Então, uma base para o núcleo é:

Passo 6

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como a base do núcleo tem dois polinômios ( dim(Núc<=o) = 2 e ), temos:
ú

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem da transformação f(a x^2 + b x + c) = 2 a x^2 . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a qualquer polinômio de .
Dado que:
Percebe-se que a imagem consiste em todos os múltiplos de com coeficiente .

Passo 8

Para encontrar uma base da imagem, observamos que todos os elementos da imagem são múltiplos de x^2 . Portanto, sozinho gera toda a imagem.
Logo, uma base para a imagem é:

Passo 9

A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como a base da imagem contém apenas um polinômio ( dim(Ima>=m) = 1 ), temos:

Resposta

O núcleo de tem base e dimensão 2. A imagem de tem base e dimensão 1.

Exercícios relacionados