Considere a matriz identidade I4, de ordem 4 . Seja N=n I4, com n in N, n >= 1, calcule N^-1

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve matrizes. A questão nos apresenta a matriz identidade de ordem 4 e define , onde é um número natural maior ou igual a 1. Nosso objetivo é calcular a inversa dessa matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz identidade. A matriz identidade I4 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 é uma matriz quadrada de ordem 4 que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Ou seja:
A matriz identidade funciona como o número 1 nas multiplicações de matrizes, ou seja, multiplicar qualquer matriz pela identidade não altera a matriz original.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz N = nI4 = n & 0 & 0 & 0 0 & n & 0 & 0 0 & 0 & n & 0 0 & 0 & 0 & n . Isso significa que cada elemento da matriz identidade é multiplicado por . Portanto, a matriz fica assim:

Passo 4

Para encontrar a inversa de , precisamos lembrar que a inversa de uma matriz , denotada por , é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja, .
No caso de , a inversa será uma matriz que, quando multiplicada por , nos dá de volta a matriz identidade.

Passo 5

Sabemos que a inversa de uma matriz diagonal, como N^-1 = 1nI4 = 1n & 0 & 0 & 0 0 & 1n & 0 & 0 0 & 0 & 1n & 0 0 & 0 & 0 & 1n , é simplesmente uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal é o inverso do elemento correspondente na matriz original. Portanto, cada na diagonal de será substituído por na inversa.
Assim, a inversa de é:

Resposta

A inversa da matriz N^-1 = 1nI4 é:

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