Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços da matriz dada. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada alpha e descobrir uma matriz semelhante que seja diagonal, representada por [A]alpha^alpha. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, e métodos para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica de A, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. Vamos montar essa equação para nossa matriz.
Autovalor lambda1 = -3 com autovetores v1 = 2 1 0 e v2 = -7 0 1.
Autovalor lambda2 = 9 com autovetor v3 = 1 1 1.
Passo 15
Os autoespaços são os conjuntos formados pelos autovetores correspondentes a cada autovalor:
Para lambda = -3, o autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de v1 e v2.
Para lambda = 9, o autoespaço é o conjunto de todas as múltiplas de v3.
Passo 16
Agora, vamos formar a base de autovetores alpha com os autovetores encontrados:
alpha = 2 1 0, -7 0 1, 1 1 1
Como esses três vetores são lineares e independentes, eles formam uma base para o espaço.
Passo 17
Por último, vamos construir a matriz diagonal [A]alpha^alpha usando os autovalores na diagonal:
[A]alpha^alpha = -3 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 9
Resposta
Os autovalores da matriz A são lambda1 = -3 (com multiplicidade 2) e lambda2 = 9. Os autovetores correspondentes são 2 1 0 e -7 0 1 para lambda = -3, e 1 1 1 para lambda = 9. A base de autovetores alpha é formada por esses três vetores, e a matriz semelhante diagonal é: