Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ccc-1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços da matriz dada. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada alpha e descobrir uma matriz semelhante que seja diagonal, representada por [A]alpha^alpha. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, e métodos para diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica de A, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. Vamos montar essa equação para nossa matriz.

Passo 3

Calculando A - lambda I, temos:
A - lambda I = -1 - lambda & -4 & 14 2 & -7 - lambda & 14 2 & -4 & 11 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de A - lambda I é calculado assim:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot det -7 - lambda & 14 -4 & 11 - lambda - (-4) cdot det 2 & 14 2 & 11 - lambda + 14 cdot det 2 & -7 - lambda 2 & -4
Vamos calcular cada um desses determinantes menores.

Passo 5

Calculando os determinantes menores:
  1. det -7 - lambda & 14 -4 & 11 - lambda = (-7 - lambda)(11 - lambda) - (14)(-4) = ( -7 - lambda)(11 - lambda) + 56
  2. det 2 & 14 2 & 11 - lambda = 2(11 - lambda) - 14 cdot 2 = 22 - 2lambda - 28 = -6 - 2lambda
  3. det 2 & -7 - lambda 2 & -4 = 2(-4) - (-7 - lambda) cdot 2 = -8 + 14 + 2lambda = 6 + 2lambda

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)[(-7 - lambda)(11 - lambda) + 56] - (-4)(-6 - 2lambda) + 14(6 + 2lambda)
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Simplificando cada parte:
  1. Expande (-7 - lambda)(11 - lambda):
(-7)(11) + (-7)(-lambda) + (-lambda)(11) + (-lambda)(-lambda) = -77 + 7lambda - 11lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4lambda - 77
Então:
(-7 - lambda)(11 - lambda) + 56 = lambda^2 - 4lambda - 77 + 56 = lambda^2 - 4lambda - 21
  1. Agora, a expressão completa fica:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 21) - (-4)(-6 - 2lambda) + 14(6 + 2lambda)
Vamos distribuir e simplificar:
= (-1)(lambda^2 - 4lambda - 21) - lambda(lambda^2 - 4lambda - 21) - 24 - 8lambda + 84 + 28lambda
Simplificando ainda mais:
= -lambda^2 + 4lambda + 21 - lambda^3 + 4lambda^2 + 21lambda - 24 - 8lambda + 84 + 28lambda
Combinando termos semelhantes:
= -lambda^3 + 3lambda^2 + 45lambda + 81

Passo 8

Agora, temos a equação característica:
-lambda^3 + 3lambda^2 + 45lambda + 81 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda^2 - 45lambda - 81 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação cúbica. Testando lambda = 3:
3^3 - 3(3)^2 - 45(3) - 81 = 27 - 27 - 135 - 81 = -216 neq 0
Tentando lambda = -3:
(-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3) - 81 = -27 - 27 + 135 - 81 = 0
Então, lambda = -3 é uma raiz. Vamos dividir o polinômio por (lambda + 3) para encontrar as outras raízes.

Passo 9

Dividindo lambda^3 - 3lambda^2 - 45lambda - 81 por (lambda + 3) usando a divisão polinomial ou o método de Ruffini, encontramos:
lambda^3 - 3lambda^2 - 45lambda - 81 = (lambda + 3)(lambda^2 - 6lambda - 27)
Agora, resolvemos lambda^2 - 6lambda - 27 = 0:
Usando a fórmula quadrática:
lambda = 6 pm raiz36 + 1082 = 6 pm raiz1442 = 6 pm 122
Então, temos:
lambda = 9 ou lambda = -3
Então, os autovalores são: lambda1 = -3, lambda2 = -3, e lambda3 = 9.

Passo 10

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrando soluções do sistema (A - lambda I)x = 0.
Primeiro, para lambda = -3:
A - (-3)I = A + 3I = 2 & -4 & 14 2 & -4 & 14 2 & -4 & 14
Esse sistema reduz para:
2x - 4y + 14z = 0
Podemos resolver isso expressando duas variáveis em termos da terceira.

Passo 11

Vamos resolver 2x - 4y + 14z = 0:
Dividindo por 2:
x - 2y + 7z = 0 implies x = 2y - 7z
Então, podemos expressar os autovetores em termos de y e z:
x = 2y - 7z y z = y 2 1 0 + z -7 0 1
Então, temos dois autovetores para lambda = -3:
v1 = 2 1 0 , v2 = -7 0 1

Passo 12

Agora, para o autovalor lambda = 9:
A - 9I = -10 & -4 & 14 2 & -16 & 14 2 & -4 & 2
Vamos resolver o sistema (A - 9I)x = 0.

Passo 13

Resolvendo o sistema:
  1. -10x - 4y + 14z = 0
  2. 2x - 16y + 14z = 0
  3. 2x - 4y + 2z = 0
Podemos simplificar as equações. Vamos multiplicar a terceira equação por 1:
2x - 4y + 2z = 0 implies x = 2y - z
Substituindo x = 2y - z na segunda equação:
2(2y - z) - 16y + 14z = 0 implies 4y - 2z - 16y + 14z = 0 implies -12y + 12z = 0 implies y = z
Então, x = 2y - y = y
Então, os autovetores são múltiplos de:
x = y 1 1 1
Então, um autovetor para lambda = 9 é:
v3 = 1 1 1

Passo 14

Agora, temos todos os autovalores e autovetores:
  • Autovalor lambda1 = -3 com autovetores v1 = 2 1 0 e v2 = -7 0 1.
  • Autovalor lambda2 = 9 com autovetor v3 = 1 1 1.

Passo 15

Os autoespaços são os conjuntos formados pelos autovetores correspondentes a cada autovalor:
  • Para lambda = -3, o autoespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de v1 e v2.
  • Para lambda = 9, o autoespaço é o conjunto de todas as múltiplas de v3.

Passo 16

Agora, vamos formar a base de autovetores alpha com os autovetores encontrados:
alpha = 2 1 0, -7 0 1, 1 1 1
Como esses três vetores são lineares e independentes, eles formam uma base para o espaço.

Passo 17

Por último, vamos construir a matriz diagonal [A]alpha^alpha usando os autovalores na diagonal:
[A]alpha^alpha = -3 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 9

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = -3 (com multiplicidade 2) e lambda2 = 9. Os autovetores correspondentes são 2 1 0 e -7 0 1 para lambda = -3, e 1 1 1 para lambda = 9. A base de autovetores alpha é formada por esses três vetores, e a matriz semelhante diagonal é:
[A]alpha^alpha = -3 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & 9

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