Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 que possui: autovalores 1 e -1 associados aos autovetores (alpha, alpha) e (0,2 beta), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear que tem dois autovalores: 1 e -1. Além disso, cada autovalor está associado a um autovetor específico. O primeiro autovalor, 1, está ligado ao autovetor , e o segundo autovalor, -1, está ligado ao autovetor . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, autovalores e autovetores, e como esses se relacionam na matriz que representa a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . Nosso objetivo é encontrar a matriz que satisfaz as condições dadas pelos autovalores e autovetores.

Passo 3

Sabemos que se é um autovalor de com autovetor , então . Temos dois pares de autovalores e autovetores:
  1. com autovetor
  2. com autovetor

Passo 4

Esses autovetores devem ser linearmente independentes para que a matriz seja diagonalizável, ou seja, possa ser escrita na forma , onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores.

Passo 5

Vamos formar a matriz P = alpha & 0 alpha & 2beta com os autovetores como colunas:
D = 1 & 0 0 & -1
E a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Passo 6

Para encontrar a matriz , usamos a relação . Primeiro, precisamos calcular , a inversa de .

Passo 7

A inversa de uma matriz 2x2 a & b c & d é dada por:
P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aplicando isso ao nosso det(P) = alpha cdot 2beta - alpha cdot 0 = 2alphabeta :
P^-1 = 12alphabeta 2beta & 0 -alpha & alpha
Então,

Passo 8

Agora, multiplicamos as matrizes A = P D P^-1 = alpha & 0 alpha & 2beta 1 & 0 0 & -1 12alphabeta 2beta & 0 -alpha & alpha , e para achar :

Passo 9

Vamos calcular o produto PD = alpha cdot 1 + 0 cdot 0 & alpha cdot 0 + 0 cdot (-1) alpha cdot 1 + 2beta cdot 0 & alpha cdot 0 + 2beta cdot (-1) = alpha & 0 alpha & -2beta primeiro:

Passo 10

Agora, multiplicamos A = PD cdot P^-1 = alpha & 0 alpha & -2beta 12alphabeta 2beta & 0 -alpha & alpha por A = 12alphabeta alpha cdot 2beta + 0 cdot (-alpha) & alpha cdot 0 + 0 cdot alpha alpha cdot 2beta + (-2beta) cdot (-alpha) & alpha cdot 0 + (-2beta) cdot alpha = 12alphabeta 2alphabeta & 0 4alphabeta & -2alphabeta :
Multiplicando as matrizes:

Passo 11

Simplificando cada elemento da matriz:
A = 2alphabeta2alphabeta & 02alphabeta 4alphabeta2alphabeta & -2alphabeta2alphabeta = 1 & 0 2 & -1

Resposta

A transformação linear A = 1 & 0 2 & -1 é representada pela matriz:

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