Encontre a transformação linear que possui: autovalores 1 e -1 associados aos autovetores e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear que tem dois autovalores: 1 e -1. Além disso, cada autovalor está associado a um autovetor específico. O primeiro autovalor, 1, está ligado ao autovetor , e o segundo autovalor, -1, está ligado ao autovetor . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, autovalores e autovetores, e como esses se relacionam na matriz que representa a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . Nosso objetivo é encontrar a matriz que satisfaz as condições dadas pelos autovalores e autovetores.
Passo 3
Sabemos que se é um autovalor de com autovetor , então . Temos dois pares de autovalores e autovetores:
com autovetor
com autovetor
Passo 4
Esses autovetores devem ser linearmente independentes para que a matriz seja diagonalizável, ou seja, possa ser escrita na forma , onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores.
Passo 5
Vamos formar a matriz com os autovetores como colunas:
E a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Passo 6
Para encontrar a matriz , usamos a relação . Primeiro, precisamos calcular , a inversa de .
Passo 7
A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então,
Passo 8
Agora, multiplicamos as matrizes , e para achar :
Passo 9
Vamos calcular o produto primeiro:
Passo 10
Agora, multiplicamos por :
Multiplicando as matrizes:
Passo 11
Simplificando cada elemento da matriz:
Resposta
A transformação linear é representada pela matriz: