Encontre a transformação linear
que possui: autovalores 1 e -1 associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma transformação linear
que tem dois autovalores: 1 e -1. Além disso, cada autovalor está associado a um autovetor específico. O primeiro autovalor, 1, está ligado ao autovetor
, e o segundo autovalor, -1, está ligado ao autovetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, autovalores e autovetores, e como esses se relacionam na matriz que representa a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que
. Nosso objetivo é encontrar a matriz
que satisfaz as condições dadas pelos autovalores e autovetores.
Passo 3
Sabemos que se
é um autovalor de
com autovetor
, então
. Temos dois pares de autovalores e autovetores:
-
com autovetor -
com autovetor
Passo 4
Esses autovetores devem ser linearmente independentes para que a matriz
seja diagonalizável, ou seja, possa ser escrita na forma
, onde
é a matriz diagonal com os autovalores e
é a matriz cujas colunas são os autovetores.
Passo 5
Vamos formar a matriz
com os autovetores como colunas:
E a matriz diagonal
com os autovalores na diagonal:
Passo 6
Para encontrar a matriz
, usamos a relação
. Primeiro, precisamos calcular
, a inversa de
.
Passo 7
A inversa de uma matriz 2x2
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Então,
Passo 8
Agora, multiplicamos as matrizes
,
e
para achar
:
Passo 9
Vamos calcular o produto
primeiro:
Passo 10
Agora, multiplicamos
por
:
Multiplicando as matrizes:
Passo 11
Simplificando cada elemento da matriz:
Resposta
A transformação linear
é representada pela matriz: