Sejam A=(1,0,1), B=(2,-1,-1), C=(0,2,-1) e D=(0,1,1).
(a) Determine a projeção ortogonal de \overrightarrow{A B} sobre \overrightarrow{A C}.

Passo 1

Beleza, a gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,1), B=(2,-1,-1), C=(0,2,-1) e D=(0,1,1). A questão pede pra gente encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor . Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial, onde vamos usar conceitos como vetores, produto escalar e projeção vetorial. Vamos precisar calcular , , o produto escalar desses vetores e a norma de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (2-1, -1-0, -1-1) = (1, -1, -2) e AC = C - A = (0-1, 2-0, -1-1) = (-1, 2, -2) . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B e C, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da projeção ortogonal de um vetor projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre um vetor :
Ou seja, a projeção é o produto escalar dos dois vetores dividido pelo produto escalar de consigo mesmo, multiplicado por .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot AC = (1)(-1) + (-1)(2) + (-2)(-2) = -1 -2 +4 = 1 :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar AC cdot AC = (-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 +4 = 9 :

Passo 6

Aplicando na fórmula da projeção:
projAC AB = ( 19 ) AC = 19 times (-1, 2, -2) = ( -19, 29, -29 )

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é .

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