Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares: R: R^2 R^2 tal que R(x, y, z)=(x-y, 2 x-2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e equações características que ajudam a identificar esses autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & -1 2 & -2 como uma matriz. Para transformar em uma matriz, pensamos em como os vetores são transformados. Ficamos com:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & -1 2 & -2 - lambda
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos montar :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(2)
Simplificando:
= (1 - lambda)(-2 - lambda) + 2
= -2 - lambda + 2lambda + lambda^2 + 2
= lambda^2 + lambda

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 + lambda = 0
Resolvendo a equação:
lambda(lambda + 1) = 0
Então, os autovalores são:
lambda1 = 0 e lambda2 = -1

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com 1 & -1 2 & -2 v1 v2 = 0 0 .
Substituímos 1v1 - 1v2 = 0 2v1 - 2v2 = 0 na equação v^(1) = 1 1 :

[


]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos . Então, o autovetor correspondente a pode ser:

Passo 7

Agora, vamos para 1 - (-1) & -1 2 & -2 - (-1) = 2 & -1 2 & -1 .
Substituímos 2v1 - v2 = 0 2v1 - v2 = 0 na equação v^(2) = 1 2 :

[


]
O sistema resultante é:
Novamente, simplificando, temos . Assim, o autovetor correspondente a pode ser:

Resposta

Os autovalores são v^(1) = 1 1 e v^(2) = 1 2 e . Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados

Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 que possui: autovalores 4 e-5 associados aos autovetores (alpha, 0) e (0, beta), respectivamente.
Considere a matriz identidade I4, de ordem 4 . Seja N=n I4, com n in N, n >= 1, calcule N^-1
Considere a matriz M=[ll1 & p 2 & 1]. Calcule M^-1, para p=1.
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ccc-1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11]