Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e equações características que ajudam a identificar esses autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Para transformar
em uma matriz, pensamos em como os vetores
são transformados. Ficamos com:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos montar
:
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com
.
Substituímos
na equação
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos
. Então, o autovetor correspondente a
pode ser:
Passo 7
Agora, vamos para
.
Substituímos
na equação
:
[
]
O sistema resultante é:
Novamente, simplificando, temos
. Assim, o autovetor correspondente a
pode ser:
Resposta
Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes são:
Exercícios relacionados
Encontre a transformação linear
que possui: autovalores
associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Considere a matriz identidade
, de ordem 4 . Seja
, com
, calcule
Considere a matriz
. Calcule
, para
.
Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores
e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal
.