Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores, os autovetores e os autoespaços da matriz . Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada e encontrar uma matriz diagonal semelhante à original, representada por . Para isso, vamos precisar entender como encontrar autovalores e autovetores de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de :
Passo 5
Simplificando o determinante:
Para encontrar os autovalores, igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação :
Isso nos dá os autovalores:
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para , resolvemos :
Passo 8
Isso nos dá o sistema de equações:
Ambas as equações são iguais, então temos apenas uma equação independente:
Podemos escolher , então:
O autovetor correspondente é:
Passo 9
Agora, para , resolvemos :
Passo 10
Isso nos dá o sistema de equações:
Novamente, ambas as equações são iguais, então temos:
Podemos escolher , então:
O autovetor correspondente é:
Passo 11
Agora, vamos identificar os autoespaços. O autoespaço associado a cada autovalor é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a ele, mais o vetor zero.
Para :
Para :
Passo 12
Agora, vamos formar a base de autovetores . Como temos dois autovalores distintos e cada um tem um autovetor associado que são linearmente independentes, podemos usar esses dois vetores como base.
Passo 13
Por fim, queremos encontrar a matriz similar à original que seja diagonal, . Quando uma matriz é diagonalizada, os autovalores aparecem na diagonal principal e os autovetores formam a matriz de mudança de base.
Então, a matriz diagonal será:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são e , respectivamente. Os autoespaços são e . A base de autovetores é e a matriz semelhante a diagonalizada é: