Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores, os autovetores e os autoespaços da matriz 1 & 1 1 & 1. Além disso, quando der, vamos formar uma base de autovetores chamada e encontrar uma matriz diagonal semelhante à original, representada por . Para isso, vamos precisar entender como encontrar autovalores e autovetores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 1 & 1 1 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 1 - lambda & 1 1 & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = (1 - lambda)^2 - 1 :

Passo 5

Simplificando o determinante:
(1 - lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda
Para encontrar os autovalores, igualamos a zero:
lambda^2 - 2lambda = 0

Passo 6

Resolvendo a equação lambda(lambda - 2) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = 2
Isso nos dá os autovalores:

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A v = 0 Rightarrow 1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0 .
Primeiro, para , resolvemos :

Passo 8

Isso nos dá o sistema de equações:
v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0
Ambas as equações são iguais, então temos apenas uma equação independente:
v1 = -v2
Podemos escolher v1 = -1 , então:
v1 = -1 1
O autovetor correspondente é:

Passo 9

Agora, para 1 - 2 & 1 1 & 1 - 2 v1 v2 = -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0 , resolvemos :

Passo 10

Isso nos dá o sistema de equações:
- v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0
Novamente, ambas as equações são iguais, então temos:
v1 = v2
Podemos escolher v1 = 1 , então:
v2 = 1 1
O autovetor correspondente é:

Passo 11

Agora, vamos identificar os autoespaços. O autoespaço associado a cada autovalor é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a ele, mais o vetor zero.
Para Elambda1 = span-1 1 :
Elambda2 = span1 1
Para :

Passo 12

Agora, vamos formar a base de autovetores alpha = -1 1, 1 1 . Como temos dois autovalores distintos e cada um tem um autovetor associado que são linearmente independentes, podemos usar esses dois vetores como base.

Passo 13

Por fim, queremos encontrar a matriz similar à original que seja diagonal, [A]alpha^alpha = 0 & 0 0 & 2 . Quando uma matriz é diagonalizada, os autovalores aparecem na diagonal principal e os autovetores formam a matriz de mudança de base.
Então, a matriz diagonal será:

Resposta

Os autovalores da matriz -1 1 são 1 1 e -1 1. Os autovetores correspondentes são 1 1 e -1 1, respectivamente. Os autoespaços são 1 1 e [A]alpha^alpha = 0 & 0 0 & 2 . A base de autovetores é e a matriz semelhante a diagonalizada é:

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