Sejam A=(1,0,1), B=(2,-1,-1), C=(0,2,-1) e D=(0,1,1).
(b) Determine o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, então a gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,1), B=(2,-1,-1), C=(0,2,-1) e D=(0,1,1). A pergunta é para descobrir o volume do tetraedro formado por esses quatro vértices. Vamos usar um pouco de álgebra vetorial e geometria espacial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume de um tetraedro pode ser calculado usando o produto misto de três vetores. Para isso, precisamos escolher um ponto de referência (por exemplo, A) e criar três vetores que vão de A para os outros três pontos.

Passo 3

Vamos formar os vetores:

Passo 4

Agora, o produto misto é calculado determinando o determinante da matriz formada por esses três vetores. Ou seja:
Produto Misto = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & -2 -1 & 1 & 0

Passo 5

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
= 1 cdot 2 & -2 1 & 0 - (-1) cdot -1 & -2 -1 & 0 + (-2) cdot -1 & 2 -1 & 1
Calculando cada menor:
= 1 cdot (2 cdot 0 - (-2) cdot 1) + 1 cdot ((-1) cdot 0 - (-2) cdot (-1)) - 2 cdot ((-1) cdot 1 - 2 cdot (-1))
= 1 cdot (0 + 2) + 1 cdot (0 - 2) - 2 cdot (-1 + 2)
= 2 - 2 - 2 cdot 1
= 2 - 2 - 2 = -2

Passo 6

O volume do tetraedro é dado pelo valor absoluto do produto misto dividido por 6:
V = |Produto Misto|6 = |-2|6 = 26 = 13

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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