Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa achar os autovalores e autovetores da matriz 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Vamos precisar calcular o determinante e resolver uma equação característica para encontrar os autovalores, e depois encontrar os autovetores associados a cada um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica e nos ajuda a encontrar todos os autovalores da matriz.
Então, lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52 é um autovalor. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar lambda = 4 e lambda = -1 :
Agora, resolvemos :
Então, as soluções são:
Passo 8
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada B - I = 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 . Para cada autovalor, resolvemos 0x + y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + y + 0z = 0 .
Para 1 -2 1:
B - 4I = -3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 2 & 1 & -3
Resolvemos o sistema:
-3x + y + 2z = 0 x - 2y + z = 0 2x + y - 3z = 0
Da terceira equação: -3(2y - z) + y + 2z = -6y + 3z + y + 2z = -5y + 5z = 0 Rightarrow y = z
Substituindo na segunda equação: x = 2y - y = y
Da primeira equação: 1 1 1
Então, os autovetores são múltiplos de B + I = 2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2
Para 2x + y + 2z = 0 x + 3y + z = 0 2x + y + 2z = 0 :
x + 3y + z = 0 Rightarrow x = -3y - z
Resolvemos o sistema:
2(-3y - z) + y + 2z = -6y - 2z + y + 2z = -5y = 0 Rightarrow y = 0
Da segunda equação: -1 0 1
Substituindo na primeira:
Substituindo na expressão para :
Então, os autovetores são múltiplos de
Para :
Resolvemos o sistema:
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Os autovetores são múltiplos de
Resposta
Os autovalores da matriz 1 -2 1 são 1 1 1, -1 0 1 e com os respectivos autovetores: