Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa achar os autovalores e autovetores da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Vamos precisar calcular o determinante e resolver uma equação característica para encontrar os autovalores, e depois encontrar os autovetores associados a cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica e nos ajuda a encontrar todos os autovalores da matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero:

Passo 4

Calculando o determinante:
Vamos simplificar cada parte:
Continuando a simplificação:

Passo 5

Vamos agora multiplicar :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, multiplicamos :
Substituindo de volta na expressão:

Passo 7

A equação característica fica:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Então, é um autovalor. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar :
Agora, resolvemos :
Então, as soluções são:

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos .
Para :
Resolvemos o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Da primeira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de
Para :
Resolvemos o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Substituindo na expressão para :
Então, os autovetores são múltiplos de
Para :
Resolvemos o sistema:
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Os autovetores são múltiplos de

Resposta

Os autovalores da matriz são , e com os respectivos autovetores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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