Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: B=(lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa achar os autovalores e autovetores da matriz 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Vamos precisar calcular o determinante e resolver uma equação característica para encontrar os autovalores, e depois encontrar os autovetores associados a cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovalor de uma matriz satisfaz a equação , onde é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica e nos ajuda a encontrar todos os autovalores da matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz B - lambda I = 1 - lambda & 1 & 2 1 & 2 - lambda & 1 2 & 1 & 1 - lambda :
det(B - lambda I) = 0
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero:

Passo 4

Calculando o determinante:
det(B - lambda I) = (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1] - 1[1 cdot (1 - lambda) - 1 cdot 2] + 2[1 cdot 1 - (2 - lambda) cdot 2]
Vamos simplificar cada parte:
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] - 1[(1 - lambda) - 2] + 2[1 - 2(2 - lambda)]
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] - 1[-1 - lambda] + 2[1 - 4 + 2lambda]
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] + (1 + lambda) + 2[-3 + 2lambda]
Continuando a simplificação:
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] + 1 + lambda - 6 + 4lambda
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] - 5 + 5lambda

Passo 5

Vamos agora multiplicar (2 - lambda)(1 - lambda) = 2 cdot 1 + 2 cdot (-lambda) - lambda cdot 1 + lambda^2 = 2 - 2lambda - lambda + lambda^2 = 2 - 3lambda + lambda^2 :
= (1 - lambda)(2 - 3lambda + lambda^2 - 1) - 5 + 5lambda
Substituindo de volta:
= (1 - lambda)(1 - 3lambda + lambda^2) - 5 + 5lambda

Passo 6

Agora, multiplicamos = 1 cdot (1 - 3lambda + lambda^2) - lambda cdot (1 - 3lambda + lambda^2) :
= 1 - 3lambda + lambda^2 - lambda + 3lambda^2 - lambda^3
= 1 - 4lambda + 4lambda^2 - lambda^3
= 1 - 4lambda + 4lambda^2 - lambda^3 - 5 + 5lambda
Substituindo de volta na expressão:
= -lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4

Passo 7

A equação característica fica:
-lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4 = 0
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando 1 - 4 - 1 + 4 = 0 (funciona!) :
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda - 4)
Então, lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52 é um autovalor. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar lambda = 4 e lambda = -1 :
Agora, resolvemos :
Então, as soluções são:

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada B - I = 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 . Para cada autovalor, resolvemos 0x + y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + y + 0z = 0 .
Para 1 -2 1:
B - 4I = -3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 2 & 1 & -3
Resolvemos o sistema:
-3x + y + 2z = 0 x - 2y + z = 0 2x + y - 3z = 0
Da terceira equação: -3(2y - z) + y + 2z = -6y + 3z + y + 2z = -5y + 5z = 0 Rightarrow y = z
Substituindo na segunda equação: x = 2y - y = y
Da primeira equação: 1 1 1
Então, os autovetores são múltiplos de B + I = 2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2
Para 2x + y + 2z = 0 x + 3y + z = 0 2x + y + 2z = 0 :
x + 3y + z = 0 Rightarrow x = -3y - z
Resolvemos o sistema:
2(-3y - z) + y + 2z = -6y - 2z + y + 2z = -5y = 0 Rightarrow y = 0
Da segunda equação: -1 0 1
Substituindo na primeira:
Substituindo na expressão para :
Então, os autovetores são múltiplos de
Para :
Resolvemos o sistema:
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Os autovetores são múltiplos de

Resposta

Os autovalores da matriz 1 -2 1 são 1 1 1, -1 0 1 e com os respectivos autovetores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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