Seja uma matriz . Prove que o polinômio característico de tem grau .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de tamanho e precisa provar que o polinômio característico dela tem grau . Isso está dentro do estudo de álgebra linear, especificamente sobre polinômios característicos e determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o polinômio característico e como calcular o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como , onde:
é o determinante da matriz.
é a matriz dada.
é uma variável escalar.
é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz . Subtrair de significa subtrair de cada elemento da diagonal principal de . Então, se for:
Então,
Passo 4
O próximo passo é calcular o determinante dessa nova matriz . O determinante de uma matriz é um valor que pode ser calculado a partir de seus elementos e tem diversas propriedades importantes. Quando expandimos o determinante de , estaremos lidando com um polinômio em .
Passo 5
Observemos o comportamento do determinante conforme expandimos. O termo de maior grau em vem do produto dos termos da diagonal principal. Como são termos na diagonal, teremos , que é equivalente a . Este é o termo de maior grau no polinômio característico.
Passo 6
Além disso, ao expandir o determinante, todos os outros termos terão potências de menores que ou serão constantes (quando não há envolvidos). Portanto, o polinômio característico terá grau , já que o termo de maior grau é .
Resposta
Assim, provamos que o polin��mio característico de uma matriz tem grau .