Encontre os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo: dado por .

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear que age no espaço dos polinômios de grau até 2, . O operador é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber como aplicar conceitos de álgebra linear para operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, o que são autovalores e autovetores? Em álgebra linear, para um operador linear , um autovetor é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, resulta em um múltiplo do próprio vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, é um polinômio da forma , e queremos encontrar e que satisfazem a equação acima.

Passo 3

Vamos aplicar o operador ao polinômio :
De acordo com a definição de autovetor e autovalor, isso deve ser igual a :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. A primeira equação é:
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Então, um possível valor para é 1.
Agora, vamos olhar para as outras duas equações:
Substituindo :
Isso nos diz que . Ou seja, os coeficientes de e do termo constante são iguais.

Passo 6

Então, para , qualquer polinômio da forma é um autovetor correspondente a esse autovalor.
Agora, precisamos verificar se existem outros valores de . Suponha que . A partir da primeira equação , a menos que , tem que ser 1, que já consideramos. Então, se , temos:
Substituindo na segunda equação:
Para que exista uma solução não trivial (ou seja, ), precisamos que:
Já vimos . Para :
Isso é sempre verdadeiro, então para , os autovetores são os polinômios da forma , ou simplificando:

Resposta

Os autovalores do operador são e .
  • Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde e são números reais.
  • Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde é um número real.

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Encontre o operador linear , tal que tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores e .
O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz de mudança de base de para a base canônica .
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Seja uma matriz . Prove que o polinômio característico de tem grau .