Encontre os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo: dado por .
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear que age no espaço dos polinômios de grau até 2, . O operador é definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber como aplicar conceitos de álgebra linear para operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, o que são autovalores e autovetores? Em álgebra linear, para um operador linear , um autovetor é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, resulta em um múltiplo do próprio vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, é um polinômio da forma , e queremos encontrar e que satisfazem a equação acima.
Passo 3
Vamos aplicar o operador ao polinômio :
De acordo com a definição de autovetor e autovalor, isso deve ser igual a :
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. A primeira equação é:
a = lambda a
Se 1 = lambda , podemos dividir ambos os lados por c = lambda b b = lambda c :
c = b b = c
Então, um possível valor para é 1.
Agora, vamos olhar para as outras duas equações:
Substituindo :
Isso nos diz que . Ou seja, os coeficientes de e do termo constante são iguais.
Passo 6
Então, para c = lambda b b = lambda c , qualquer polinômio da forma b = lambda (lambda b) Rightarrow b = lambda^2 b é um autovetor correspondente a esse autovalor.
Agora, precisamos verificar se existem outros valores de 1 = lambda^2 Rightarrow lambda = pm 1 . Suponha que c = -b b = -c Rightarrow b = -(-b) Rightarrow b = b . A partir da primeira equação b x - b , a menos que , tem que ser 1, que já consideramos. Então, se , temos:
Substituindo na segunda equação:
Para que exista uma solução não trivial (ou seja, ), precisamos que:
Já vimos . Para :
Isso é sempre verdadeiro, então para , os autovetores são os polinômios da forma , ou simplificando:
Resposta
Os autovalores do operador são e .
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde e são números reais.
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde é um número real.