Seja um operador linear. Sob quais condições é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir sob quais condições um operador linear é diagonalizável. Isso está relacionado com o conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente com diagonalização de matrizes e operadores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e a existência de uma base de autovetores para o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um operador ser diagonalizável. Um operador é diagonalizável se existe uma base do espaço composta somente por autovetores de . Isso significa que, em relação a essa base, a matriz de seria uma matriz diagonal, o que simplifica muito os cálculos.

Passo 3

Para que tenha uma base de autovetores, é necessário que exista um número suficiente de autovalores distintos ou que, mesmo com autovalores repetidos, haja autovetores suficientes para cada autovalor. Especificamente, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes associados) deve ser igual à multiplicidade algébrica (quantas vezes o autovalor aparece na equação característica).

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o polinômio característico de , que é dado por . Para que seja diagonalizável, esse polinômio precisa se fatorar em fatores lineares, ou seja, todos os autovalores devem ser reais e distintos, ou quando multiplicados, a multiplicidade geométrica deve igualar a multiplicidade algébrica para cada um.

Passo 5

Além disso, se o espaço for de dimensão finita e o corpo sobre o qual está definido for algébrico fechado (como os números complexos ), então sempre teremos pelo menos uma fatoração completa do polinômio característico em fatores lineares. Isso facilita encontrar uma base de autovetores, garantindo a diagonalização do operador.

Resposta

O operador linear é diagonalizável se e somente se o polinômio característico de se decompõe em fatores lineares e, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Em outras palavras, é diagonalizável quando existe uma base de composta por autovetores de , o que acontece se todos os autovalores são tais que a quantidade de autovetores independentes corresponde à sua multiplicidade na equação característica.

Exercícios relacionados

Seja uma matriz . Prove que o polinômio característico de tem grau .
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Resposta:
Seja o operador linear dado por
onde é uma base de . Verifique que é diagonalizável.