Encontre o operador linear , tal que tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores, -1 e 3, associados aos autovetores e respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos montar uma matriz que satisfaça essas condições usando os autovetores e autovalores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os autovalores e autovetores. Temos dois autovalores:
com autovetor
com autovetor
Passo 3
Para encontrar a matriz , usamos a relação para cada par de autovalor e autovetor. Isso significa que aplicando no autovetor , obtemos o autovalor multiplicado por .
Passo 4
Vamos montar a matriz cujas colunas são os autovetores:
E a matriz diagonal com os autovalores correspondentes:
Passo 5
Agora, a matriz do operador linear é dada por . Primeiro, precisamos calcular a inversa de , ou seja, .
Passo 6
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de é: