Encontre o operador linear , tal que tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores, -1 e 3, associados aos autovetores e respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos montar uma matriz que satisfaça essas condições usando os autovetores e autovalores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os autovalores e autovetores. Temos dois autovalores:
  • com autovetor
  • com autovetor

Passo 3

Para encontrar a matriz , usamos a relação para cada par de autovalor e autovetor. Isso significa que aplicando no autovetor , obtemos o autovalor multiplicado por .

Passo 4

Vamos montar a matriz cujas colunas são os autovetores:
E a matriz diagonal com os autovalores correspondentes:

Passo 5

Agora, a matriz do operador linear é dada por . Primeiro, precisamos calcular a inversa de , ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de é:

Passo 7

Agora, multiplicamos as matrizes , e :
Vamos realizar a multiplicação passo a passo.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos por :

Passo 9

Agora, multiplicamos o resultado por :
Calculando cada elemento:

Passo 10

Finalmente, distribuímos o :

Resposta

O operador linear é representado pela matriz:

Exercícios relacionados

O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz de mudança de base de para a base canônica .
Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo: dado por .
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: