Encontre o operador linear T: R^2 R^2, tal que T(x, y) tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores (3 y, y) e (-2 y, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores, -1 e 3, associados aos autovetores e respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos montar uma matriz que satisfaça essas condições usando os autovetores e autovalores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os autovalores e autovetores. Temos dois autovalores:
  • 3 1 com autovetor -2 1
  • com autovetor

Passo 3

Para encontrar a matriz , usamos a relação para cada par de autovalor e autovetor. Isso significa que aplicando no autovetor , obtemos o autovalor multiplicado por .

Passo 4

Vamos montar a matriz P = 3 & -2 1 & 1 cujas colunas são os autovetores:
D = -1 & 0 0 & 3
E a matriz diagonal com os autovalores correspondentes:

Passo 5

Agora, a matriz do operador linear é dada por . Primeiro, precisamos calcular a inversa de , ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular o determinante de det(P) = (3)(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5 :
P^-1 = 1det(P) 1 & 2 -1 & 3 = 15 1 & 2 -1 & 3
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de é:

Passo 7

Agora, multiplicamos as matrizes T = P D P^-1 = 3 & -2 1 & 1 -1 & 0 0 & 3 15 1 & 2 -1 & 3 , e :
Vamos realizar a multiplicação passo a passo.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos P D = 3 & -2 1 & 1 -1 & 0 0 & 3 = (3)(-1) + (-2)(0) & (3)(0) + (-2)(3) (1)(-1) + (1)(0) & (1)(0) + (1)(3) = -3 & -6 -1 & 3 por :

Passo 9

Agora, multiplicamos o resultado por T = -3 & -6 -1 & 3 cdot 15 1 & 2 -1 & 3 = 15 (-3)(1) + (-6)(-1) & (-3)(2) + (-6)(3) (-1)(1) + (3)(-1) & (-1)(2) + (3)(3) :
T = 15 -3 + 6 & -6 - 18 -1 -3 & -2 + 9 = 15 3 & -24 -4 & 7
Calculando cada elemento:

Passo 10

Finalmente, distribuímos o T = 35 & -245 -45 & 75 :

Resposta

O operador linear T = dfrac35 & -dfrac245 [6px] -dfrac45 & dfrac75 é representado pela matriz:

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