Encontre o operador linear
, tal que
tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear
que tem dois autovalores, -1 e 3, associados aos autovetores
e
respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Precisaremos montar uma matriz que satisfaça essas condições usando os autovetores e autovalores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os autovalores e autovetores. Temos dois autovalores:
-
com autovetor -
com autovetor
Passo 3
Para encontrar a matriz
, usamos a relação
para cada par de autovalor e autovetor. Isso significa que aplicando
no autovetor
, obtemos o autovalor
multiplicado por
.
Passo 4
Vamos montar a matriz
cujas colunas são os autovetores:
E a matriz diagonal
com os autovalores correspondentes:
Passo 5
Agora, a matriz do operador linear
é dada por
. Primeiro, precisamos calcular a inversa de
, ou seja,
.
Passo 6
Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz
é invertível. A inversa de
é:
Passo 7
Agora, multiplicamos as matrizes
,
e
:
Vamos realizar a multiplicação passo a passo.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 9
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Calculando cada elemento:
Passo 10
Finalmente, distribuímos o
:
Resposta
O operador linear
é representado pela matriz: