Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação característica para encontrar os autovalores. Depois, usaremos cada autovalor para encontrar os correspondentes autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico, que é dado por:
onde representa os autovalores e é a matriz identidade da mesma dimensão que .
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser complicado, mas vamos usar a expansão por menores para facilitar. Observando a matriz, podemos notar que há zeros que ajudam na simplificação.
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de lambda^3 - 4lambda^2 + 4lambda + 12 = 0 . Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Parece que nenhuma raiz inteira funciona facilmente, então vamos ajustar nosso polinômio característico ou verificar se há algum erro nos cálculos anteriores.
Revisando, percebemos que ao calcular o determinante, devemos incluir mais termos devido ao tamanho da matriz. Para simplificar, vamos ajustar a abordagem e recalcular o polinômio característico corretamente.
Passo 6
Vamos reavaliar o cálculo do determinante de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 1 12 & 0 & 3 - lambda & 0 0 & -1 & 0 & -lambda :
Podemos aplicar a técnica de expansão por blocos ou realizar operações de linha para simplificar. Observando que há zeros em posições estratégicas, podemos trocar linhas para facilitar a expansão.
Após realizar os cálculos corretamente, obtemos os autovalores:
Passo 7
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada (A - lambda I)v = 0 . Para cada autovalor, resolvemos a equação: