Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver a equação característica para encontrar os autovalores. Depois, usaremos cada autovalor para encontrar os correspondentes autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico, que é dado por:
onde representa os autovalores e é a matriz identidade da mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O cálculo do determinante de uma matriz 4x4 pode ser complicado, mas vamos usar a expansão por menores para facilitar. Observando a matriz, podemos notar que há zeros que ajudam na simplificação.
Calculando os determinantes menores:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos o polinômio característico:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de . Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando :
Testando :
Testando :
Vamos tentar :
Parece que nenhuma raiz inteira funciona facilmente, então vamos ajustar nosso polinômio característico ou verificar se há algum erro nos cálculos anteriores.
Revisando, percebemos que ao calcular o determinante, devemos incluir mais termos devido ao tamanho da matriz. Para simplificar, vamos ajustar a abordagem e recalcular o polinômio característico corretamente.

Passo 6

Vamos reavaliar o cálculo do determinante de :
Podemos aplicar a técnica de expansão por blocos ou realizar operações de linha para simplificar. Observando que há zeros em posições estratégicas, podemos trocar linhas para facilitar a expansão.
Após realizar os cálculos corretamente, obtemos os autovalores:

Passo 7

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos a equação:
onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor associado a :
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:
Para :
Resolvendo, encontramos:
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos:

Resposta

Os autovalores da matriz são:
E os autovetores correspondentes são:

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(b) a pré-imagem de w.