Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar seus autovalores e autovetores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Distribuindo os sinais:
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá . Escolhemos livremente, digamos . Então, o autovetor é:
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação: . Escolhemos , então . O autovetor é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:
  • Autovalor com autovetor
  • Autovalor com autovetor

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јja uma transformação linear tal que:
acontre a imagem
Determine se a função T é uma transformação linear:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: