Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
e precisa encontrar seus autovalores e autovetores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui,
representa o autovalor e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Distribuindo os sinais:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo
:
Isso nos dá
. Escolhemos
livremente, digamos
. Então, o autovetor é:
Para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação:
. Escolhemos
, então
. O autovetor é:
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz
são:
- Autovalor
com autovetor - Autovalor
com autovetor
Exercícios relacionados
јja
uma transformação linear tal que:
acontre a imagem
Determine se a função T é uma transformação linear:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: