Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A=[rr1 & 2 0 & -1]

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 2 0 & -1 e precisa encontrar seus autovalores e autovetores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (2 times 0) = (1 - lambda)(-1 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = -(1 - lambda)(1 + lambda)
Simplificando:
= - (1 cdot 1 + 1 cdot lambda - lambda cdot 1 - lambda cdot lambda) = - (1 + lambda - lambda - lambda^2) = - (1 - lambda^2) = lambda^2 - 1
Distribuindo os sinais:
lambda^2 - 1 = 0
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação lambda^2 = 1 lambda = pm 1 :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - lambda1 I = 1 - 1 & 2 0 & -1 - 1 = 0 & 2 0 & -2 , resolvemos 0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - 2 cdot v2 = 0 , onde v1 = 1 0 é o autovetor.
Para A - lambda2 I = 1 - (-1) & 2 0 & -1 - (-1) = 2 & 2 0 & 0 :
2 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
Resolvendo v2 = -1 1 :
Isso nos dá . Escolhemos livremente, digamos . Então, o autovetor é:
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação: . Escolhemos , então . O autovetor é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz 1 0 são:
  • Autovalor -1 1 com autovetor
  • Autovalor com autovetor

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