Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
l B=(1,0,2),(0,1,3),(1,1,1) B^prime=(2,1,1),(1,0,0),(0,2,1) [x]B^prime=[r 1 2 -1 ]
(a) encontre a matriz de transição de B para B

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases no espaço tridimensional, e . O que a gente precisa encontrar aqui é a matriz de transição de para . Isso significa descobrir como passar das coordenadas em para as coordenadas em . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e usar isso para construir a matriz de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Basicamente, ela transforma as coordenadas de vetores de uma base para outra. Ou seja, se você tem um vetor representado na base e quer saber como ele fica na base , a matriz de transição faz essa transformação.

Passo 3

Para encontrar a matriz de transição de para , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Em outras palavras, para cada vetor em , vamos encontrar coeficientes que, multiplicados pelos vetores de , resultem no vetor de .

Passo 4

Vamos começar pegando o primeiro vetor de (1,0,2) = a cdot (2,1,1) + b cdot (1,0,0) + c cdot (0,2,1) , que é 2a + b + 0c = 1 a + 0b + 2c = 0 a + 0b + c = 2 . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, podemos expressar a + c = 2 implies a = 2 - c em termos de (2 - c) + 2c = 0 implies 2 + c = 0 implies c = -2 :
a = 2 - (-2) = 4
Substituindo 2(4) + b = 1 implies 8 + b = 1 implies b = -7 na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Finalmente, substituindo na primeira equação:

Passo 6

Então, temos que:
(1,0,2) = 4 cdot (2,1,1) - 7 cdot (1,0,0) - 2 cdot (0,2,1)
Isso significa que as coordenadas do vetor 4 -7 -2 na base são .

Passo 7

Repetindo esse processo para os outros vetores de (0,1,3) = a cdot (2,1,1) + b cdot (1,0,0) + c cdot (0,2,1) :
Para (1,1,1) = a cdot (2,1,1) + b cdot (1,0,0) + c cdot (0,2,1) :
E para :
Resolvendo esses sistemas, encontramos as coordenadas de cada vetor de na base .

Passo 8

Após resolver os sistemas, obtemos que:
(0,1,3) = -1 3 1 B'
(1,1,1) = 1 2 0 B'

Passo 9

Agora, organizamos essas coordenadas como colunas na matriz de transição de PB to B' = 4 & -1 & 1 -7 & 3 & 2 -2 & 1 & 0 para :

Resposta

A matriz de transição de PB to B' = 4 & -1 & 1 -7 & 3 & 2 -2 & 1 & 0 para é:

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