Considere as bases dadas e a matriz de coordenadas e determine o que se pede:
(a) encontre a matriz de transição de B para B
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases no espaço tridimensional, e . O que a gente precisa encontrar aqui é a matriz de transição de para . Isso significa descobrir como passar das coordenadas em para as coordenadas em . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e usar isso para construir a matriz de transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Basicamente, ela transforma as coordenadas de vetores de uma base para outra. Ou seja, se você tem um vetor representado na base e quer saber como ele fica na base , a matriz de transição faz essa transformação.
Passo 3
Para encontrar a matriz de transição de para , precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Em outras palavras, para cada vetor em , vamos encontrar coeficientes que, multiplicados pelos vetores de , resultem no vetor de .
Passo 4
Vamos começar pegando o primeiro vetor de (1,0,2) = a cdot (2,1,1) + b cdot (1,0,0) + c cdot (0,2,1) , que é 2a + b + 0c = 1 a + 0b + 2c = 0 a + 0b + c = 2 . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, podemos expressar a + c = 2 implies a = 2 - c em termos de (2 - c) + 2c = 0 implies 2 + c = 0 implies c = -2 :
a = 2 - (-2) = 4
Substituindo 2(4) + b = 1 implies 8 + b = 1 implies b = -7 na segunda equação: