Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que atua sobre polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A transformação é definida por .
Para achar os autovalores e autovetores dessa transformação, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço . A base mais comum é . Isso significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser escrito como uma combinação linear dessa base.
Passo 3
Agora, vamos representar a transformação como uma matriz nessa base. Para isso, aplicamos a cada vetor da base e escrevemos o resultado como combinação linear da base.
Então, a matriz de na base fica assim:
Passo 4
Com a matriz de , vamos achar os autovalores. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e é o autovalor. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então, os autovalores são e .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
O que implica . Portanto, os autovetores são da forma .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
O que implica e . Portanto, os autovetores são da forma .