Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T: P2(R) P2(R), T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação linear que atua sobre polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . A transformação é definida por .
Para achar os autovalores e autovetores dessa transformação, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço . A base mais comum é . Isso significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser escrito como uma combinação linear dessa base.

Passo 3

Agora, vamos representar a transformação 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 como uma matriz nessa base. Para isso, aplicamos a cada vetor da base e escrevemos o resultado como combinação linear da base.
Então, a matriz de na base fica assim:

Passo 4

Com a matriz de det(T - lambda I) = 0 , vamos achar os autovalores. Para isso, resolvemos a equação característica:
T - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 1 & -lambda
Onde (1 - lambda) cdot det -lambda & 1 1 & -lambda = (1 - lambda) (lambda^2 - 1) = (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1) é a matriz identidade e é o autovalor. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 a b c = 0 0 0 :
Resolvemos - b + c = 0 b - c = 0 :

[
2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 a b c = 0 0 0
2a = 0 b + c = 0 b + c = 0


]
Isso nos dá as equações:
O que implica . Portanto, os autovetores são da forma .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
O que implica e . Portanto, os autovetores são da forma .

Resposta

Os autovalores da transformação v = a x^2 + b x + b onde a, b in R são v = b x - b onde b in R e .
  • Para , os autovetores são polinômios da forma:
  • Para , os autovetores são polinômios da forma:

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