Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = [[1, 1, 2], [1, 2, 1], [2, 1, 1]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso entra na matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores (ou valores próprios) e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz, encontrar seus autovalores e, em seguida, determinar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . Esse polinômio é dado por , onde representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Então, montamos a matriz :

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
Vamos simplificar isso passo a passo:
Então, o polinômio característico é .

Passo 4

Resolvemos a equação para encontrar os autovalores:
Parece que temos apenas um autovalor .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a . Para isso, resolvemos .
Substituindo na matriz :
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar multiplicando a primeira equação por 4:
Somando as equações (1) e (2):
Podemos resolver em termos de uma variável livre, digamos :
Substituindo e na equação (2):
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Para simplificar, podemos escolher :

Resposta

O único autovalor da matriz é e um autovetor correspondente é .

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