Analise a integral dada abaixo:
Diante da integral acima, analise as afirmativas a seguir:
I. Trata-se de uma integral de Remann definida num intervalo infinito.
II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria.
III. Seu resultado converge para 1.
Estão corretas apenas as afirmativas:
A) I e II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) II, apenas.
xD) I, apenas.
E) I e III, apenas.
Passo 1
**Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário**
Oi! Vamos analisar a integral definida . Esse exercício envolve conhecimentos sobre **integrais impróprias**, que são integrais definidas em intervalos infinitos ou que possuem funções não limitadas no intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais com limites infinitos e verificar a convergência ou divergência dessas integrais.
Passo 2
**Identificando o Tipo de Integral**
Primeiro, observamos que a integral vai de 1 até . Quando o limite superior ou inferior de uma integral é infinito, chamamos essa integral de **imprópria**. Portanto, estamos lidando com uma integral imprópria de Riemann.
Passo 3
**Calculando a Integral Indefinida**
Vamos encontrar a antiderivada da função :
Onde é a constante de integração.
Passo 4
**Avaliando a Integral Definida com Limite Infinito**
Para calcular a integral de 1 a , definimos um limite que tende a :
Simplificando a avaliação em :
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
**Analisando o Comportamento da Integral no Infinito**
Observamos os termos dominantes quando tende a :
- cresce sem limites.
- também cresce, mas negativamente.
- cresce positivamente.
O termo é o que mais influencia o comportamento da integral, pois é de maior grau. Conforme tende a , também tende a . Portanto, a integral diverge para .
Passo 6
**Verificando as Afirmativas**
Vamos analisar cada uma das afirmativas:
**I. Trata-se de uma integral de Riemann definida num intervalo infinito.**
- **Correto.** Como a integral vai de 1 a , é uma integral imprópria de Riemann em intervalo infinito.
**II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria.**
- **Correto.** A presença de como limite de integração certamente caracteriza a integral como imprópria.
**III. Seu resultado converge para 1.**
- **Incorreto.** Conforme vimos, a integral diverge para e não converge para 1.
Resposta
**A) I e II, apenas.**
Exercícios relacionados
Analise a situação abaixo:
Diante da situação apresentada, avalie as afirmativas abaixo:
I. A igualdade apresentada é verdadeira, uma vez que foram mantidas as propriedades da função no intervalo.
II. As integrais do lado direito são impróprias, pois possuem intervalos infinitos.
III. A integral da esquerda converge para 1.
É correto o que se afirma em:
A) II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) III, apenas.
x E) I, apenas.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
a) , para .
Considere a função
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: