Analise a integral dada abaixo:
Diante da integral acima, analise as afirmativas a seguir:
I. Trata-se de uma integral de Remann definida num intervalo infinito.
II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria.
III. Seu resultado converge para 1.
Estão corretas apenas as afirmativas: A) I e II, apenas. B) II e III, apenas. C) II, apenas. xD) I, apenas. E) I e III, apenas.

Passo 1

**Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário** Oi! Vamos analisar a integral definida . Esse exercício envolve conhecimentos sobre **integrais impróprias**, que são integrais definidas em intervalos infinitos ou que possuem funções não limitadas no intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais com limites infinitos e verificar a convergência ou divergência dessas integrais.

Passo 2

**Identificando o Tipo de Integral** Primeiro, observamos que a integral vai de 1 até . Quando o limite superior ou inferior de uma integral é infinito, chamamos essa integral de **imprópria**. Portanto, estamos lidando com uma integral imprópria de Riemann.

Passo 3

**Calculando a Integral Indefinida** Vamos encontrar a antiderivada da função : Onde é a constante de integração.

Passo 4

**Avaliando a Integral Definida com Limite Infinito** Para calcular a integral de 1 a , definimos um limite que tende a : Simplificando a avaliação em : Portanto, a integral se torna:

Passo 5

**Analisando o Comportamento da Integral no Infinito** Observamos os termos dominantes quando tende a : - cresce sem limites. - também cresce, mas negativamente. - cresce positivamente. O termo é o que mais influencia o comportamento da integral, pois é de maior grau. Conforme tende a , também tende a . Portanto, a integral diverge para .

Passo 6

**Verificando as Afirmativas** Vamos analisar cada uma das afirmativas: **I. Trata-se de uma integral de Riemann definida num intervalo infinito.** - **Correto.** Como a integral vai de 1 a , é uma integral imprópria de Riemann em intervalo infinito. **II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria.** - **Correto.** A presença de como limite de integração certamente caracteriza a integral como imprópria. **III. Seu resultado converge para 1.** - **Incorreto.** Conforme vimos, a integral diverge para e não converge para 1.

Resposta

**A) I e II, apenas.**

Exercícios relacionados

Analise a situação abaixo: Diante da situação apresentada, avalie as afirmativas abaixo: I. A igualdade apresentada é verdadeira, uma vez que foram mantidas as propriedades da função no intervalo. II. As integrais do lado direito são impróprias, pois possuem intervalos infinitos. III. A integral da esquerda converge para 1. É correto o que se afirma em: A) II, apenas. B) II e III, apenas. C) I e II, apenas. D) III, apenas. x E) I, apenas.
(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares: a) , para .
Considere a função Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: