Analise a integral dada abaixo: integral1^infty x^2-3 x+2 d x <br> Diante da integral acima, analise as afirmativas a seguir: <br> I. Trata-se de uma integral de Remann definida num intervalo infinito. <br> II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria. <br> III. Seu resultado converge para 1. <br> Estão corretas apenas as afirmativas:
A) I e II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) II, apenas.
xD) I, apenas.
E) I e III, apenas.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Oi! Vamos analisar a integral definida . Esse exercício envolve conhecimentos sobre integrais impróprias, que são integrais definidas em intervalos infinitos ou que possuem funções não limitadas no intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais com limites infinitos e verificar a convergência ou divergência dessas integrais.

Passo 2

Identificando o Tipo de Integral
Primeiro, observamos que a integral vai de 1 até . Quando o limite superior ou inferior de uma integral é infinito, chamamos essa integral de imprópria. Portanto, estamos lidando com uma integral imprópria de Riemann.

Passo 3

Calculando a Integral Indefinida
Vamos encontrar a antiderivada da função integral (x^2 - 3x + 2) , dx = x^33 - 3x^22 + 2x + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Avaliando a Integral Definida com Limite Infinito
Para calcular a integral de 1 a integral1^infty (x^2 - 3x + 2) , dx = limT to infty [ T^33 - 3T^22 + 2T ] - [ 1^33 - 3(1)^22 + 2(1) ] , definimos um limite 13 - 32 + 2 = 13 - 32 + 42 = 13 + 12 = 56 que tende a limT to infty [ T^33 - 3T^22 + 2T ] - 56 :
Simplificando a avaliação em :
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Analisando o Comportamento da Integral no Infinito
Observamos os termos dominantes quando tende a :
  • cresce sem limites.
  • também cresce, mas negativamente.
  • cresce positivamente.
O termo é o que mais influencia o comportamento da integral, pois é de maior grau. Conforme tende a , também tende a . Portanto, a integral diverge para .

Passo 6

Verificando as Afirmativas
Vamos analisar cada uma das afirmativas:
I. Trata-se de uma integral de Riemann definida num intervalo infinito.
  • Correto. Como a integral vai de 1 a , é uma integral imprópria de Riemann em intervalo infinito.
II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria.
  • Correto. A presença de como limite de integração certamente caracteriza a integral como imprópria.
III. Seu resultado converge para 1.
  • Incorreto. Conforme vimos, a integral diverge para e não converge para 1.

Resposta

A) I e II, apenas.

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