Resolva as EDOs:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi passada:
. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de equações lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de EDO, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a função integral exponencial
:
Portanto, nossa equação fica:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a função integral exponencial e
é a constante de integração.