Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi passada: . Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de equações lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de EDO, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral . Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a função integral exponencial :
Portanto, nossa equação fica:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde é a função integral exponencial e é a constante de integração.