Resolva as EDOs:
b) y' - 4/x y = x^3 e^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi passada: . Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de equações lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de EDO, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Essa integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a função integral exponencial :
Portanto, nossa equação fica:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a função integral exponencial e é a constante de integração.

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