Considere a função
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume sob o gráfico da função
na região
definida por
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume que queremos encontrar pode ser calculado usando uma integral dupla sobre a região
. A integral dupla é representada assim:
Isso significa que vamos integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
, dentro dos limites fornecidos.
Passo 3
Vamos escrever a integral com os limites de integração. Como
varia de 0 a 2 e
de 0 a 1, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar a função
em relação a
. Vamos separar a integral em partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Integrando a primeira parte
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirar fora da integral:
Passo 6
Integrando a segunda parte
:
Aqui,
também é constante em relação a
:
Passo 7
Integrando a terceira parte
:
Como 11 é uma constante:
Passo 8
Agora, somamos todas as partes integradas:
Essa é a expressão resultante da integral interna em relação a
. Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 9
Vamos integrar
de
a
:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 10
Integrando cada termo:
Passo 11
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume sob o gráfico da função na região dada é
unidades cúbicas.