Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume sob o gráfico da função na região definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume que queremos encontrar pode ser calculado usando uma integral dupla sobre a região . A integral dupla é representada assim:
Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , dentro dos limites fornecidos.
Passo 3
Vamos escrever a integral com os limites de integração. Como varia de 0 a 2 e de 0 a 1, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar a função em relação a . Vamos separar a integral em partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Integrando a primeira parte :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar fora da integral:
Passo 6
Integrando a segunda parte :
Aqui, também é constante em relação a :
Passo 7
Integrando a terceira parte :
Como 11 é uma constante:
Passo 8
Agora, somamos todas as partes integradas:
Essa é a expressão resultante da integral interna em relação a . Agora, vamos integrar essa expressão em relação a .
Passo 9
Vamos integrar de a :
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 10
Integrando cada termo:
Passo 11
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume sob o gráfico da função na região dada é unidades cúbicas.