Considere a função
f(x, y) = x^4 * y^7 + x^3 + 11
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
D = {(x, y) | 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1}

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume sob o gráfico da função na região definida por e . Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume que queremos encontrar pode ser calculado usando uma integral dupla sobre a região . A integral dupla é representada assim:
Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , dentro dos limites fornecidos.

Passo 3

Vamos escrever a integral com os limites de integração. Como varia de 0 a 2 e de 0 a 1, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar a função em relação a . Vamos separar a integral em partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Integrando a primeira parte :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar fora da integral:

Passo 6

Integrando a segunda parte :
Aqui, também é constante em relação a :

Passo 7

Integrando a terceira parte :
Como 11 é uma constante:

Passo 8

Agora, somamos todas as partes integradas:
Essa é a expressão resultante da integral interna em relação a . Agora, vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 9

Vamos integrar de a :
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 10

Integrando cada termo:

Passo 11

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume sob o gráfico da função na região dada é unidades cúbicas.

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