Determine se a função T é uma transformação linear:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se a função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos aplicar essas condições à função .

Passo 4

Primeiro, verificamos a aditividade. Se pegarmos dois vetores e , então:
Isso simplifica para:
Agora, calculamos :
Como os resultados são iguais, a função satisfaz a aditividade.

Passo 5

Agora, verificamos a homogeneidade. Para um escalar e um vetor :
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a função também satisfaz a homogeneidade.

Resposta

A função é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

etermine o núcleo da transformação linear :
Seja o espaço vetorial das matrizes com base
Se é dada por .
(a) Ache onde é a base canônica do .
Se e
(b) Ache e, se for possível, tal que .
јja uma transformação linear tal que:
acontre a imagem
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: