Determine se a função T é uma transformação linear:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y, z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se a função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos aplicar essas condições à função .

Passo 4

Primeiro, verificamos a aditividade. Se pegarmos dois vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2), z1 + z2) e (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2, z1 + z2) , então:
T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1 - y1, z1) + (x2 + y2, x2 - y2, z2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2, z1 + z2)
Isso simplifica para:
Agora, calculamos :
Como os resultados são iguais, a função satisfaz a aditividade.

Passo 5

Agora, verificamos a homogeneidade. Para um escalar T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + cy, cx - cy, cz) e um vetor cT(u) = c(x + y, x - y, z) = (c(x + y), c(x - y), cz) = (cx + cy, cx - cy, cz) :
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a função também satisfaz a homogeneidade.

Resposta

A função é uma transformação linear.

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