Determine se a função T é uma transformação linear:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função
é uma transformação linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se a função
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Passo 3
Vamos aplicar essas condições à função
.
Passo 4
Primeiro, verificamos a aditividade. Se pegarmos dois vetores
e
, então:
Isso simplifica para:
Agora, calculamos
:
Como os resultados são iguais, a função
satisfaz a aditividade.
Passo 5
Agora, verificamos a homogeneidade. Para um escalar
e um vetor
:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a função
também satisfaz a homogeneidade.
Resposta
A função
é uma transformação linear.