Determine se a função T é uma transformação linear:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, precisamos verificar se a função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
(Aditividade)
(Homogeneidade)
Passo 3
Vamos aplicar essas condições à função .
Passo 4
Primeiro, verificamos a aditividade. Se pegarmos dois vetores e , então:
Isso simplifica para:
Agora, calculamos :
Como os resultados são iguais, a função satisfaz a aditividade.
Passo 5
Agora, verificamos a homogeneidade. Para um escalar e um vetor :
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a função também satisfaz a homogeneidade.