јja
uma transformação linear tal que:
acontre a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma transformação linear
. A gente sabe como
age nos vetores da base canônica
,
e
. O objetivo é descobrir qual é a imagem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear
satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Isso significa que podemos decompor qualquer vetor em combinações lineares dos vetores da base e aplicar
de forma separada.
Passo 3
Vamos decompor o vetor
em termos da base canônica:
Agora, aplicamos a transformação
usando a linearidade:
Passo 4
Substituímos os valores que a gente já conhece:
Então,
Passo 5
Vamos multiplicar cada vetor pelos seus coeficientes:
Passo 6
Agora, somamos todos esses vetores:
Resposta
A imagem de
é
.