јja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que:
(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2) e T(0,0,1)=(0,-2,2)
acontre a imagem T(2,-4,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma transformação linear . A gente sabe como age nos vetores da base canônica , e . O objetivo é descobrir qual é a imagem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que podemos decompor qualquer vetor em combinações lineares dos vetores da base e aplicar de forma separada.

Passo 3

Vamos decompor o vetor (2,-4,1) = 2(1,0,0) + (-4)(0,1,0) + 1(0,0,1) em termos da base canônica:
T(2,-4,1) = 2T(1,0,0) + (-4)T(0,1,0) + 1T(0,0,1)
Agora, aplicamos a transformação usando a linearidade:

Passo 4

Substituímos os valores que a gente já conhece:
T(1,0,0) = (2,4,-1)
T(0,1,0) = (1,3,-2)
T(0,0,1) = (0,-2,2)
Então,
T(2,-4,1) = 2(2,4,-1) + (-4)(1,3,-2) + 1(0,-2,2)

Passo 5

Vamos multiplicar cada vetor pelos seus coeficientes:
2(2,4,-1) = (4,8,-2)
-4(1,3,-2) = (-4,-12,8)
1(0,-2,2) = (0,-2,2)

Passo 6

Agora, somamos todos esses vetores:
(4,8,-2) + (-4,-12,8) + (0,-2,2) = (4-4+0, 8-12-2, -2+8+2)
= (0, -6, 8)

Resposta

A imagem de é .

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