јja uma transformação linear tal que:
acontre a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma transformação linear . A gente sabe como age nos vetores da base canônica , e . O objetivo é descobrir qual é a imagem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que podemos decompor qualquer vetor em combinações lineares dos vetores da base e aplicar de forma separada.

Passo 3

Vamos decompor o vetor em termos da base canônica:
Agora, aplicamos a transformação usando a linearidade:

Passo 4

Substituímos os valores que a gente já conhece:
Então,

Passo 5

Vamos multiplicar cada vetor pelos seus coeficientes:

Passo 6

Agora, somamos todos esses vetores:

Resposta

A imagem de é .

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Determine se a função T é uma transformação linear:
etermine o núcleo da transformação linear :
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: