Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=(rrr 3 & -3 & 0 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular os autovalores resolvendo o determinante e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1 . Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começaremos com A - 3I = 0 & -3 & 0 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 .
Para encontrar os autovetores, resolvemos o sistema v1 = 1 0 0 .
Para :
Resolvendo o sistema:
  1. A primeira equação é .
  2. A segunda equação é .
  3. A terceira equação é , que já sabemos que .
Então, pode ser qualquer valor. Vamos escolher para simplificar. Assim, um autovetor para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o autovetor para A + I = 4 & -3 & 0 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 .
Calculamos 4v2 = -5v3 Rightarrow v2 = -54v3 :
4v1 - 3(-54v3) = 0 Rightarrow 4v1 + 154v3 = 0 Rightarrow v1 = -1516v3
Resolvendo o sistema v1 = -1516 times 16 = -15, v2 = -54 times 16 = -20, v3 = 16 :
  1. A primeira equação é v2 = -15 -20 16 .
  2. A segunda equação é .
  3. A terceira equação é , que não adiciona nenhuma informação.
Vamos expressar em função de a partir da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Agora, podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz 1 0 0 são:
  • Autovalor -15 -20 16 com autovetor .
  • Autovalor com autovetor .

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