Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular os autovalores resolvendo o determinante e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começaremos com .
Para encontrar os autovetores, resolvemos o sistema .
Para :
Resolvendo o sistema:
  1. A primeira equação é .
  2. A segunda equação é .
  3. A terceira equação é , que já sabemos que .
Então, pode ser qualquer valor. Vamos escolher para simplificar. Assim, um autovetor para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o autovetor para .
Calculamos :
Resolvendo o sistema :
  1. A primeira equação é .
  2. A segunda equação é .
  3. A terceira equação é , que não adiciona nenhuma informação.
Vamos expressar em função de a partir da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Agora, podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:
  • Autovalor com autovetor .
  • Autovalor com autovetor .

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©
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(b) .