Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular os autovalores resolvendo o determinante e depois encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começaremos com .
Para encontrar os autovetores, resolvemos o sistema .
Para :
Resolvendo o sistema:
A primeira equação é .
A segunda equação é .
A terceira equação é , que já sabemos que .
Então, pode ser qualquer valor. Vamos escolher para simplificar. Assim, um autovetor para é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o autovetor para .
Calculamos :
Resolvendo o sistema :
A primeira equação é .
A segunda equação é .
A terceira equação é , que não adiciona nenhuma informação.
Vamos expressar em função de a partir da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Agora, podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, um autovetor para é:
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são: