Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
© pi1:lx=1+2 t+s y=3-2 t z=2+t+2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o cosseno do ângulo entre dois planos. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço e o cálculo do ângulo entre eles. Vamos precisar encontrar os vetores normais dos planos para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas do plano pi1:
pi1:l x = 1 + 2t + s y = 3 - 2t z = 2 + t + 2s
Aqui, t e s são os parâmetros. A partir dessas equações, podemos identificar os vetores diretores do plano.

Passo 3

Identificamos os vetores diretores do plano pi1. Observando as equações paramétricas:
  • O primeiro vetor diretor é obtido variando t: (2, -2, 1).
  • O segundo vetor diretor é obtido variando s: (1, 0, 2).

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano pi1, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores:
n1 = v times w = i & j & k 2 & -2 & 1 1 & 0 & 2
Calculando o determinante:
n1 = i((-2)(2) - (1)(0)) - j((2)(2) - (1)(1)) + k((2)(0) - (-2)(1)) = (-4)i - (3)j + (2)k
Então, o vetor normal ao plano pi1 é n1 = (-4, -3, 2).

Passo 5

Para calcular o cosseno do ângulo entre dois planos, precisamos dos vetores normais de ambos os planos. Supondo que o outro plano seja pi2 com vetor normal n2 = (A, B, C), a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os planos é:
costheta = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores normais.
  • |n1| e |n2| são as normas (módulos) dos vetores normais.

Passo 6

Substituindo os valores dos vetores normais na fórmula:
costheta = (-4)A + (-3)B + 2Craiz(-4)^2 + (-3)^2 + 2^2 cdot raizA^2 + B^2 + C^2 = -4A -3B + 2Craiz29 cdot raizA^2 + B^2 + C^2
Portanto, o cosseno do ângulo entre os planos pi1 e pi2 é dado pela expressão acima. Para obter um valor numérico final, precisamos dos coeficientes A, B e C do vetor normal do segundo plano pi2.

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos pi1 e pi2 é costheta = -4A -3B + 2Craiz29 cdot raizA^2 + B^2 + C^2.

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