Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o cosseno do ângulo entre dois planos. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço e o cálculo do ângulo entre eles. Vamos precisar encontrar os vetores normais dos planos para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas do plano :
Aqui, e são os parâmetros. A partir dessas equações, podemos identificar os vetores diretores do plano.

Passo 3

Identificamos os vetores diretores do plano . Observando as equações paramétricas:
  • O primeiro vetor diretor é obtido variando : .
  • O segundo vetor diretor é obtido variando : .

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Para calcular o cosseno do ângulo entre dois planos, precisamos dos vetores normais de ambos os planos. Supondo que o outro plano seja com vetor normal , a fórmula do cosseno do ângulo entre os planos é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as normas (módulos) dos vetores normais.

Passo 6

Substituindo os valores dos vetores normais na fórmula:
Portanto, o cosseno do ângulo entre os planos e é dado pela expressão acima. Para obter um valor numérico final, precisamos dos coeficientes , e do vetor normal do segundo plano .

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos e é .

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(b) Passa pelo ponto e contém a reta
Determine três pontos distintos sobre o plano para
(b) .
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B) 64