Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas pela lei ou pela matriz:
OBS. Sabemos que
e que
.
tal que
OBS. Sabemos que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear
definida por
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos usar duas coisas principais: a equação
e o determinante
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação
. Olhando para
, podemos escrever a matriz
assim:
Essa matriz vai ser o nosso ponto de partida para encontrar os autovalores e autovetores.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores
, usamos a equação característica
. A matriz identidade
em
é:
Então, subtraímos
da matriz
:
Passo 4
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
, com os autovetores correspondentes: