Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas pela lei ou pela matriz:
OBS. Sabemos que A v=lambda v e que det(A-lambda I)=0.
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear definida por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos usar duas coisas principais: a equação e o determinante .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação A = 1 & 1 2 & 1 . Olhando para , podemos escrever a matriz assim:
Essa matriz vai ser o nosso ponto de partida para encontrar os autovalores e autovetores.

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores I = 1 & 0 0 & 1 , usamos a equação característica A - lambda I = 1-lambda & 1 2 & 1-lambda . A matriz identidade em é:
Então, subtraímos da matriz :

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1-lambda)(1-lambda) - (2)(1) = (1-lambda)^2 - 2
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de (1-lambda)^2 - 2 = 0 (1 - lambda)^2 = 2 1 - lambda = pm raiz2 lambda = 1 pm raiz2 :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - lambda1 I = 1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) = -raiz2 & 1 2 & -raiz2 , resolvemos -raiz2 cdot v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = raiz2 cdot v1 .
Para 1 raiz2 :
A - lambda2 I = 1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) = raiz2 & 1 2 & raiz2
Resolvendo:
raiz2 cdot v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -raiz2 cdot v1
Podemos escolher 1 -raiz2 , então o autovetor é .
Para :
Resolvendo:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Resposta

Os autovalores da transformação v1 = 1 raiz2 e v2 = 1 -raiz2 são e , com os autovetores correspondentes:

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