Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas pela lei ou pela matriz:
OBS. Sabemos que A v=lambda v e que det(A-lambda I)=0.
M=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear representada pela matriz:
M = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a condição que relaciona a matriz, seus autovalores ( A v = lambda v ) e autovetores ( det(A - lambda I) = 0 ):
Além disso, sabemos que para encontrar os autovalores, usamos o determinante:
Onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Como a matriz lambda1 = 1, lambda2 = 1, lambda3 = 1 é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Ou seja, os autovalores são:
Isso significa que temos um único autovalor com multiplicidade 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a M v = 1 cdot v . Para isso, substituímos (M - I) v = 0 na equação M - I = 1-1 & 2 & 3 0 & 1-1 & 2 0 & 0 & 1-1 = 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 :
Isso é equivalente a:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos resolver o sistema homogêneo 0v1 + 2v2 + 3v3 = 0 0v1 + 0v2 + 2v3 = 0 0 = 0 . Isso resulta em:
Vamos analisar cada equação:
  1. Segunda equação:
  2. Primeira equação: (pois )
  3. Terceira equação: Não nos dá informação adicional.

Passo 5

Com v = v1 0 0 e v = 1 0 0 , o vetor fica:
Aqui, pode ser qualquer número real diferente de zero (porque o vetor não pode ser o vetor nulo). Portanto, os autovetores correspondentes ao autovalor são todos os múltiplos do vetor:

Resposta

Os autovalores da matriz 1 0 0 são lambda = 1 e v = k 1 0 0 , k in R, , k neq 0 com multiplicidade 3. O autovetor correspondente é qualquer múltiplo do vetor . Ou seja:

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