Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas pela lei ou pela matriz:
OBS. Sabemos que A v=lambda v e que det(A-lambda I)=0.
M=(ll1 & 2 3 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz 1 & 2 3 & 2 . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores, que envolve calcular o determinante da matriz e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( det(M - lambda I) = 0 ) da matriz . Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz M - lambda I = 1 - lambda & 2 3 & 2 - lambda :
det(M - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - (2 times 3)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Simplificando o determinante:
det(M - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda) - 6 = (2 - lambda - 2lambda + lambda^2) - 6 = lambda^2 - 3lambda - 4
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 3 + 52 = 4 e lambda2 = 3 - 52 = -1
Então, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores M - 4I = 1 - 4 & 2 3 & 2 - 4 = -3 & 2 3 & -2 e -3 & 2 3 & -2 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada x y , resolvemos 0 0 .
Primeiro, para -3x + 2y = 0 Rightarrow y = 32x :
2 3
Resolvendo , temos:
Então, um autovetor correspondente é .

Passo 7

Agora, para M - (-1)I = M + I = 1 + 1 & 2 3 & 2 + 1 = 2 & 2 3 & 3 :
2 & 2 3 & 3
Resolvendo x y , temos:
0 0
Então, um autovetor correspondente é 2x + 2y = 0 Rightarrow y = -x .

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 2 3 associado a lambda1 = 4 são v2 = 1 -1 associado a lambda2 = -1 e .
Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados