Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas pela lei ou pela matriz:
OBS. Sabemos que
e que
.
OBS. Sabemos que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores, que envolve calcular o determinante da matriz
e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Simplificando o determinante:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Primeiro, para
:
Resolvendo
, temos:
Então, um autovetor correspondente é
.
Passo 7
Agora, para
:
Resolvendo
, temos:
Então, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.
Os autovetores correspondentes são: