Verificar se os vetores
e v são autovetores de A , onde
e
.
Resp.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
- u sime v não
Resp.
1.
a)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se os vetores
e
são autovetores da matriz
. Basicamente, um autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz, resulta num múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e fazer umas multiplicações de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de autovetor. Diz que se temos uma matriz
e um vetor
, então
é um autovetor de
se existir um número
tal que:
Aqui,
é chamado de autovalor correspondente ao autovetor
.
Passo 3
Vamos começar verificando se o vetor
é um autovetor de
. Para isso, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos ver se
é igual a algum múltiplo de
. Ou seja, queremos achar
tal que:
Comparando com o resultado que obtivemos:
Isso nos mostra que
.
Passo 5
Então, concluímos que:
Isso confirma que
é realmente um autovetor de
, com autovalor
.
Passo 6
Agora, vamos testar o vetor
. Calculamos
:
Passo 7
Vamos ver se existe algum
que satisfaça:
Comparando com o resultado de
:
Isso nos dá duas equações:
Aqui temos um problema:
não pode ser dois valores diferentes ao mesmo tempo. Isso significa que não existe um único
que satisfaça ambas as equações.
Passo 8
Como não encontramos um único
que funcione para todo o vetor
, concluímos que:
Portanto,
não é um autovetor da matriz
.
Resposta
O vetor
é um autovetor de
, com autovalor
, enquanto o vetor
não é um autovetor de
.