Verificar se os vetores u e v são autovetores de A , onde A=(ll-3 & 1 -5 & 3), u=binom11 e v=binom12.
Resp.
1.
a)
lambda1=1+raiz2, v1=(x, raiz2 x) ; lambda2=1-raiz2, v2=(x,-raiz2 x)
b) lambda1=4, v1=(23 y, y) ; lambda2=-1, v2=(-y, y)
c)
lambda=1, v=(0,0,0, w)
d)
lambda1=1, v1=(x, 0) ; lambda2=-1, v2=(-y, y)
e)
lambda=1, v=(x, 0,0)
  1. u sime v não

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se os vetores u = 1 1 e v = 1 2 são autovetores da matriz A = -3 & 1 -5 & 3. Basicamente, um autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz, resulta num múltiplo dele mesmo. Para isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e fazer umas multiplicações de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de autovetor. Diz que se temos uma matriz A e um vetor x, então x é um autovetor de A se existir um número lambda tal que:
Ax = lambda x
Aqui, lambda é chamado de autovalor correspondente ao autovetor x.

Passo 3

Vamos começar verificando se o vetor u é um autovetor de A. Para isso, vamos calcular Au:
Au = -3 & 1 -5 & 3 1 1 = (-3)(1) + (1)(1) (-5)(1) + (3)(1) = -2 -2

Passo 4

Agora, vamos ver se Au é igual a algum múltiplo de u. Ou seja, queremos achar lambda tal que:
Au = lambda u = lambda 1 1 = lambda lambda
Comparando com o resultado que obtivemos:
-2 -2 = lambda lambda
Isso nos mostra que lambda = -2.

Passo 5

Então, concluímos que:
Au = -2 u
Isso confirma que u é realmente um autovetor de A, com autovalor lambda = -2.

Passo 6

Agora, vamos testar o vetor v = 1 2. Calculamos Av:
Av = -3 & 1 -5 & 3 1 2 = (-3)(1) + (1)(2) (-5)(1) + (3)(2) = -1 1

Passo 7

Vamos ver se existe algum lambda que satisfaça:
Av = lambda v = lambda 1 2 = lambda 2lambda
Comparando com o resultado de Av:
-1 1 = lambda 2lambda
Isso nos dá duas equações:
  1. lambda = -1
  2. 2lambda = 1 Rightarrow lambda = 0,5
Aqui temos um problema: lambda não pode ser dois valores diferentes ao mesmo tempo. Isso significa que não existe um único lambda que satisfaça ambas as equações.

Passo 8

Como não encontramos um único lambda que funcione para todo o vetor v, concluímos que:
Av neq lambda v
Portanto, v não é um autovetor da matriz A.

Resposta

O vetor u = 1 1 é um autovetor de A, com autovalor lambda = -2, enquanto o vetor v = 1 2 não é um autovetor de A.

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